No hay un estándar de la secuencia exacta de $1 \\pi_1(X,a) \a \pi_1(X_0,a) \a
Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q) \1,$ given by covariant functoriality of $\pi_1$.
Cómo se puede pensar acerca de $\pi_1(X_0,a)$? Bueno, es un cociente de la absoluta grupo de Galois de la función de campo de $K(X_0)$$X_0$, y puede ser pensado como la
Galois grupo de la máxima extensión de Galois de $K(X_0)$ que está en todas partes
unramified. Por lo tanto $\pi_1(X_0,a)^{ab}$ es el grupo de Galois de la máxima abelian extensión de $K(X_0)$ que está en todas partes unramified.
Campo de clase de teoría da una descripción de esta en todas partes unramified abelian extensión en términos de los grupos de la clase/ideles. Cuando se ordenan en este contexto, usted encontrará que $\pi_1(X_0,a)^{ab}$ se identifica con la profinite de la finalización de la $\mathbb{F}_q$-puntos racionales de $Pic(X_0)$. Concretamente,
$Pic^0(X_0)(\mathbb F_q)$ es finito, y el grado de mapa induce una secuencia exacta
$$0 \to Pic^0(X_0)(\mathbb F_q) \to Pic(X_0)(\mathbb F_q) \to \mathbb Z \to 0.$$
Tomando profinite terminaciones simplemente reemplaza $\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$.
Ahora, volviendo a la secuencia exacta en el comienzo de la respuesta, ya que
$Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)$ es abelian, hay un inducida por
secuencia
$$\pi_1(X,a) \a \pi_1(X_0,a)^{ab} \Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)
\a 1.$$
Desde $Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)$ es una copia de $\hat{\mathbb{Z}}$, generado por $Frob_q$, podemos reescribir esto como
$$\pi_1(X,a) \to \pi_1(X_0,a)^{ab} \to \hat{\mathbb Z} \to 0.$$
Ahora se verifica que en virtud de la identificación de $\pi_1(X_0,a)^{ab}$
y el profinite finalización de $Pic(X_0)(\mathbb F_q)$, el mapa a
$\hat{\mathbb Z}$ de esta última secuencia exacta es el mismo que el título del mapa.
La comparación de secuencias exactas, vemos que la imagen de $\pi_1(X,a)$ en
$\pi_1(X_0,a)^{ab}$ es igual a $Pic^0(X_0)(\mathbb{F}_q)$, que es lo que
se afirmó.
[Nota: la razón por La que Weil grupos se invocan son que, en este contexto,
pasando de Galois grupos de Weil grupos simplemente reemplaza $\hat{\mathbb Z}$
por $\mathbb Z$. Por lo $\pi_1(X_0,a)^{ab}$ es un grupo de Galois, mientras que
$Pic(X_0)(\mathbb{F}_q)$ es el correspondiente Weil grupo. El último ha
un surjection a $\mathbb Z$, mientras que el primero tiene un surjection a
$\hat{\mathbb Z}$. Si calcula el cociente de la idele grupo de clase correspondientes a la máxima abelian en todas partes unramified extensión, se le
naturalmente se $Pic(X_0)(\mathbb F_q)$, es decir, la de Weil grupo. En la función
campo de caso, el de reciprocidad de Artin mapa de los cocientes de la idele grupo de clase
a abelian grupos de Galois es inyectiva, con la imagen de ser la de Weil grupo.
Por contraste, en el campo número de caso de la reciprocidad mapa es surjective,
pero tiene un núcleo, provenientes de la contribución a los primos arquimedianos.
Un análisis cuidadoso de Weil grupos, incluyendo la distinción entre
el campo de número y la función de campo de los casos, puede ser encontrado en la Tate Numer
teórico antecedentes el artículo en el Corvalis procedimientos.]
