Estoy tratando de entender un hecho sobre la conmutación entre funtores de homología y sumas directas. En particular, dejemos que $G$ sea un grupo de tipo $FP$ (es decir, existe una resolución proyectiva de longitud finita $P_\bullet\to\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$ G): Debería demostrar que el functor $H^k(G,-)$ conmuta con la suma directa. No entiendo cómo utilizar la suposición sobre el tipo $FP$ : He intentado escribir una prueba pero en mi mente no puedo relacionar la conmutatividad con esa propiedad. Es decir: Estoy tratando de escribir explícitamente los elementos en $H^k(G,\bigoplus_i A_i)$ y en $\bigoplus_i H^k(G,A_i)$ para encontrar un buen mapa entre ellos, pero la definición es demasiado complicada porque tengo que tomar elementos que pertenecen al núcleo pero no a la imagen de algunos operadores de frontera en un complejo de cadena obtenido aplicando el functor $Hom_G(-,A_i)$ a otro complejo de cadena que es a su vez una resolución de módulos proyectivos, etc. etc. bueno... ¡es demasiado! ¿Podrías ayudarme con eso, por favor? Gracias, adiós
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Si $G$ es el tipo $FP$ (o $FP_{\infty}$ ), entonces hay una resolución de $\mathbb{Z}$ por un proyectivo finitamente generado $\mathbb{Z}G$ -módulos. (Que se generen finitamente es la propiedad clave que se necesita).
Supongamos que $f \in Hom_G(P, \bigoplus M_i)$ . Entonces parece que hay un elemento inducido elemento de $\bigoplus Hom(P, M_i)$ definido por $f_i(p) = (\pi_i \circ f)(p)$ , donde $\pi_i$ es la proyección sobre el $i$ -enésimo factor. Sin embargo, el diablo está en los detalles. Un elemento de $\bigoplus Hom(P, M_i)$ tiene que tener que todos, excepto finitamente muchos $f_i$ son cero, mientras que se da que para cada $p$ , $f_i(p)$ es cero para todos los casos, excepto para un número finito de $i$ . Pero si $P$ está generada finitamente, se puede demostrar que efectivamente todas las $f_i$ son el mapa cero.
