¿Es posible formular la teoría de categorías sin la teoría de conjuntos?

Question

Nunca he entendido por qué la teoría de conjuntos tiene tantos detractores, ni qué se gana evitando su uso.

Es bien sabido que el concepto ingenuo de conjunto como colección de objetos conduce a paradojas lógicas (cuando se trata de conjuntos infinitos) que sólo pueden resolverse definiendo el concepto de conjunto según un sistema de axiomas.

Con este contexto, ¿puede alguien ayudarme a entender el siguiente pasaje de Categorías para el matemático que trabaja Capítulo 1, dos primeros párrafos (énfasis añadido):

Primero describimos las categorías directamente, por medio de axiomas, sin utilizar ninguna teoría de conjuntos y las llamamos "metacategorías". En realidad estamos con una noción más simple, un (meta)gráfico.

A metagraph consiste en objetos a,b,c.., flechas f,g,h..., y dos operaciones como las siguientes:

¿Es realmente posible evitar el uso de la teoría de conjuntos en los fundamentos de la teoría de categorías simplemente utilizando la frase " objetos a,b,c ..." en su lugar?

Gracias.

Answer 1

Desde un punto de vista formal es posible estudiar la teoría de las categorías dentro de la teoría de las categorías, utilizando la noción de topos . La teoría de los topos hace muchas cosas, pero una de ellas es un fundamento alternativo de la teoría de las categorías para las matemáticas.

Aumentando la teoría de los topos con suficientes axiomas adicionales, es teóricamente posible reconstruir toda la ZFC dentro de la teoría de los topos. Así, si alguien puede estudiar la teoría de categorías en ZFC, puede hacer lo mismo estudiando la teoría de categorías dentro de ZFC dentro de la teoría de topos. O puede estudiar la teoría de las categorías utilizando la teoría de los topos sin utilizar ZFC como paso intermedio. Un reto práctico para hacer esto es que los axiomas para un topos son posiblemente más complicado que el axiomas para ZFC que, aparte de la sustitución, pueden justificarse en términos de propiedades relativamente básicas de los conjuntos.

Otra forma de analizar algunas cuestiones planteadas en este hilo es considerar la noción de tipo . Hay una bonita analogía para la diferencia entre ZFC y algunos fundamentos categóricos: es como la diferencia entre un lenguaje de programación no tipado (como Esquema ) y un lenguaje fuertemente tipado (como Java o C++).

En Scheme y otros lenguajes no tipados, no hay separación entre el código y los datos: dados dos objetos cualesquiera, podemos tratar el primero como una función y el segundo como una entrada, e (intentar) calcular la salida correspondiente. Así, por ejemplo, podríamos definir los números naturales utilizando Números de la Iglesia , tratar " $5$ " como una función, y calcular su valor en el par ordenado $(0,17)$ . Por supuesto, nadie hace esto en serio en la práctica. Del mismo modo, en ZFC, podemos preguntarnos si el $\pi$ es un miembro del par ordenado $(8, \mathbb{R})$ Aunque en la práctica nadie lo hace en serio.

En Java y C++, existen definiciones estrictas de cada tipo de datos. Por ejemplo, si tengo un objeto "número natural" y quiero un objeto "número real", tengo que convertir ("cast") el objeto original para que tenga el tipo apropiado. Por lo tanto, no puedo añadir directamente $1_\mathbb{N}$ y $\pi_\mathbb{R}$ . Esto es similar a la forma en que algunas fundaciones categóricas manejan las cosas. En lugar de hablar de "reparto", estas fundaciones se centran en el "mapa de inclusión natural" de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ etc.

Conviene saber que existen muchas otras teorías de tipos, además de las inspiradas en la teoría de los topos. Hay teoría de tipos intuicionista que es muy potente, y clásico aritmética de segundo orden que es mucho más débil pero que sigue siendo capaz de formalizar casi toda la matemática de grado.

Creo, al igual que muchos que trabajan en los fundamentos de las matemáticas, que la matemática informal ingenua que se encuentra en la práctica se realiza en algún tipo de teoría de tipos complicada (e informal). Esto hace que los fundamentos de la teoría de tipos sean mucho más naturales para muchos matemáticos -muchas de las objeciones presentadas a ZFC se basan en la falta de tipificación en la teoría de conjuntos. Los fundamentos teóricos de tipos simples serían posiblemente un sistema formal más natural que ZFC para muchos propósitos prácticos, al igual que Java es un lenguaje más práctico que Scheme para muchos propósitos.

Por otro lado, la falta de tipado en ZFC, al igual que la falta de tipado en Scheme, es útil para muchos propósitos teóricos, por lo que es bueno para los matemáticos ser conscientes de los sistemas no tipados también. Por ejemplo, para hacer un modelo de ZFC sólo necesitamos definir una relación indefinida, $\in$ . Para hacer un modelo de la teoría de tipos tenemos que diseñar el sistema de tipos, luego diseñar un dominio para cada tipo, y también diseñar todos los mapas entre tipos y operaciones en cada tipo individual. Esto es mucho más complicado. De forma análoga, es un ejercicio común en las clases de informática pedir a los estudiantes que escriban un intérprete de Scheme, o incluso que escriban un compilador de Scheme en lenguaje ensamblador, pero no es común pedir a los estudiantes que escriban un intérprete completo de Java en Java, y mucho menos en lenguaje ensamblador.

Answer 2

La teoría de conjuntos ZF, en aras de la especificidad, permite hacer preguntas que yo (y probablemente muchos otros teóricos de la categoría) considero sin sentido: como los elementos de los conjuntos son otros conjuntos, para cualquier par de conjuntos $X$ y $Y$ es significativo en ZF preguntar si $X$ es un elemento o un subconjunto de $Y$ . Por ejemplo, puede preguntar si $\mathbb{R}$ es un elemento o un subconjunto de $\pi$ . Mi principal motivación para evitar la teoría de conjuntos es evitar este tipo de preguntas sin sentido, que creo que realmente dificultan el aprendizaje de las matemáticas.

(Las afirmaciones sobre conjuntos que considero significativas son las que se pueden hacer en el teoría elemental de la categoría de conjuntos ; por ejemplo, se puede preguntar si dos conjuntos son isomorfos, cuál es el límite o colímite de un diagrama de conjuntos, etc.)

(Por ejemplo, en math.SE vi una vez la pregunta "¿se supone que los homsets de una categoría son disjuntos o pueden tener una intersección no trivial?" y la respuesta correcta es que ésta es una pregunta sin sentido, pero dependiendo de lo mucho que alguien se haya bebido el kool-aid de ZF, ésta puede ser una explicación molesta y difícil de tragar).

Los "objetos" en una descripción directa de categorías tienen el mismo estatus ontológico que los "conjuntos" en una descripción directa de modelos de la teoría de conjuntos.

Answer 3

Como Kevin ha señalado en los comentarios, una posible axiomatización de la "teoría de las categorías" es la Teoría Elemental de la Categoría de Categorías. La mejor referencia que he podido encontrar es un papel de McLarty (que no es necesariamente la formulación original de Lawvere).

En él, McClarty expone una teoría con dos tipos de variables, una de ellas sobre categorías y la otra sobre funtores. Muestra cómo, a partir de 8 axiomas (uno de ellos un esquema), esta teoría puede formular y demostrar muchos resultados estándar de la teoría de categorías -incluyendo propiedades que uno podría no esperar inmediatamente, por ejemplo, propiedades de la categoría de grupos $G$ en una categoría determinada $A$ (aquí $G$ y $A$ son ambos objetos de la teoría), y de una mónada (triple) sobre una categoría.

Así, es posible que en esta línea se puedan dar axiomas que basten para el razonamiento habitual utilizado por los teóricos de la categoría.

Sin embargo, no me parece que esto se haya hecho todavía de forma concluyente - hay una gran cantidad de nociones que los teóricos de la categoría utilizan (echando un vistazo a la títulos en el último número de una revista de teoría de categorías, vemos la homotopía fuerte, las categorías modelo, las categorías monoidales trenzadas débiles, las extensiones kan algebraicas, etc.), la mayoría de las cuales son mucho más complicadas que las que trata McClarty. Además, los teóricos de las categorías siempre están inventando nuevas nociones, por ejemplo, hace poco (creo ), $\infty$ -categorías y similares. Cuando se formulan estas nociones, no se trabaja en ETCC: las construcciones utilizadas para definir un nuevo tipo de categoría y dar ejemplos de ella son a menudo (en la base) en términos de conjuntos - por ejemplo un $\infty$ -categoría tiene un torre infinita de conjuntos de morfismos (morfismos, morfismos entre morfismos, etc.). En puede ser que un día alguien llegue a una definición de $\infty$ -en términos de ETCC: pero (hasta donde yo sé) esto no se ha hecho, y no hay una manera uniforme de traducir las caracterizaciones teóricas de conjuntos que se dan en realidad de los "tipos" de categorías (como $\infty$ -) en el lenguaje de la ETCC.

Si esto es correcto, no parece que se hayan propuesto axiomas que sean suficientes para las prácticas actuales de la teoría de las categorías (que incluye la opción de definir nuevos tipos de categorías). En este sentido, la teoría de las categorías sigue necesitando actualmente la teoría de conjuntos para ser formulada.

EDITAR: Aunque, en realidad, parece que se pueden hacer análogos de muchos razonamientos de teoría de conjuntos en ETCS, así que probablemente también en ETCC, por lo que, después de todo, se podría trasladar a ETCC el tipo de construcciones de teoría de conjuntos que he mencionado anteriormente. Posiblemente la principal diferencia entre estas teorías categóricas y la teoría de conjuntos es la que menciona Qiaochu: que las teorías categóricas no permiten hacer ciertas preguntas irrelevantes

Answer 4

Normalmente no se define axiomáticamente la noción de set 1 - Las teorías como ZFC definen axiomáticamente un universo de conjuntos De la misma manera que en el álgebra lineal, no definimos vectores definimos espacios vectoriales .

También hay que tener en cuenta, por ejemplo, que la "teoría de un espacio vectorial" no dice que tenga un set de vectores, sólo que hay elementos de la teoría, que llamamos vectores. Los conjuntos sólo entran en escena cuando pedimos la teoría de conjuntos modelos de la teoría: es decir, pedimos un conjunto y unas funciones entre conjuntos que satisfagan los axiomas del espacio vectorial cuando se interpretan adecuadamente en estos términos.

La "teoría de una categoría" es igual; los elementos de la teoría son de dos tipos: objetos y flechas. (hay otras versiones de la teoría que utilizan sólo un tipo, para los que se sientan inclinados) La única vez que pedimos que haya un set de objetos y un set de flechas, o que los objetos y las flechas sean a su vez conjuntos, es cuando pedimos un modelo teórico de conjuntos de la teoría de una categoría.

A diferencia del caso de los espacios vectoriales, no siempre estamos inclinados a limitar nuestra atención a los modelos teóricos de conjuntos; por ejemplo, uno podría pedir que se considere la categoría de todos los conjuntos y las funciones entre ellos; naturalmente, esto no puede ser un modelo teórico de conjuntos, ¡porque no hay un conjunto de todos los conjuntos!

La teoría de las categorías también desarrolla su propio tipo de lógica formal, y está dispuesta a considerar otros tipos de modelos de teorías -cosas como "grupos internos" o "categorías internas" en las que interpretamos la teoría como si habláramos de objetos y flechas en lugar de conjuntos y funciones-, por lo que hay un incentivo añadido para hablar de las teorías de una manera que no esté fuertemente ligada a la semántica basada en la teoría de conjuntos.

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Dicho esto, no se puede prescindir por completo de la teoría de conjuntos; la lógica de primer orden es en sí misma una forma de teoría de conjuntos, y la lógica de orden superior aún más.

Además, Establecer (u otras categorías que se le parezcan) desempeñan un papel importante en la teoría de categorías, por lo que cualquier enfoque de los fundamentos que no comience con alguna forma de teoría de conjuntos va a tener que desarrollar su propia marca de teoría de conjuntos para ocupar su lugar.

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1: En realidad, no es mala idea hacerlo, sólo que lo hagas con el trivial teoría que no tiene axiomas, ni funciones, ni constantes, ni relaciones, ni nada, así que no hay mucho que aprender de ella

Answer 5

Es una pregunta algo sutil. Como dices, la definición de MacLane se parece mucho a la simple eliminación de la palabra "conjunto" de la basada en conjuntos, lo que parece sospechoso. Como también se mencionó, una manera más formal de hacer la afirmación de MacLane sería decir algo como

A categoría es un modelo de la teoría $T_{cat}$ cuyo lenguaje tiene dos tipos $O,M$ y símbolos de función $s,t:M\to O,i:O\to M$ ...satisfaciendo los axiomas...

Ahora bien, esto no funcionará realmente, porque no puede describir la composición, para la que se necesita una lógica más sofisticada (alguna noción de "pullback" de los tipos.) Pero es de esperar que aclare lo que MacLane afirma, no obstante.

Dejando la necesidad de composición bajo la alfombra, surgen dos cuestiones. ¿Podemos estudiar $T_{cat}$ directamente sin postular ninguna teoría de conjuntos? Esto sería, esencialmente, la teoría de la prueba de las categorías, visto formalmente como un intento de demostrar teoremas que implican cadenas finitas de $s,t,i,\circ$ unidas a través de los cuantificadores lógicos estándar. Observando la aparición de la palabra "finito" en la frase anterior, creo que hay que tener algunas ideas sobre conjuntos para justificar teoría de la prueba, en particular, alguna noción de finitud. Pero en haciendo En la teoría de la prueba, en este caso, la teoría de la categoría sintáctica, nunca se plantea la cuestión de si una cadena es finita, de modo que desde este punto de vista un teórico de la categoría nunca necesitaría en la práctica pensar en los conjuntos explícitamente. E incluso con respecto a justificación Cuando queremos explicar realmente lo que estamos haciendo de forma precisa, no parece que se necesite toda la fuerza de la teoría de conjuntos "estándar".

La segunda cuestión que se plantea, cuya motivación debería estar clara, es si existen categorías. Es posible que me falte alguna sutileza en la literatura al respecto, pero me parece que para ello hay que aceptar simplemente como intuitivo que $\cdot \to \cdot$ y otras inscripciones de este tipo dan ejemplos de modelos de $T_{cat}$ o bien recurrir a algún tipo de teoría de conjuntos para definir exactamente lo que quieres decir con ese diagrama. Para mí y para muchos otros, afirmar que la categoría $\cdot\to\cdot$ existe no es más controvertido que afirmar que $\{\}$ existe: no sentimos la necesidad de reducir la intuición de que hay cosas y formas de relacionar las cosas en una intuición más básica de que hay cosas . Sin embargo, algunas personas han afirmado que las categorías son obviamente demasiado complicadas para postularlas todas a la vez, y para ellas existe la teoría de conjuntos. De todos modos, todo esto se sitúa más bien en el nivel de justificación de explicar a un no-categorista o incluso a un no-matemático qué son exactamente los objetos con los que se trabaja. En el nivel de practica En el caso de la teoría de conjuntos, no es necesaria en absoluto, aunque la mayoría de la gente encuentra útil la teoría de conjuntos para trabajar con categorías construidas a partir de conjuntos infinitos.

Por otra parte, las preguntas sobre la disyunción de los conjuntos de homsets deberían resolverse fácilmente con la observación de que $T_{cat}$ no tiene en cuenta las intersecciones, por lo que estas preguntas se refieren intrínsecamente a los aspectos contingentes del modelo, más que a la teoría, por lo que no tienen más sentido que preguntar si todo número real tiene un elemento cuyo denominador no es divisible por 7.