Qué información obtenemos de PIDs

Question

Soy auto-aprendizaje de algunos teoría algebraica de números y mi pregunta es con respecto a las ventajas para el estudio de PIDs. He visto que Euclidiana Dominios $\subseteq$ Idea Principal Dominios $\subseteq$ Único de la Factorización de Dominios. ¿Cuáles son algunas de las propiedades importantes que podemos recibir de requerir que todos los ideales son generados por un elemento? En qué contexto fueron Pid introdujo por primera vez? Qué propiedades o preguntas que nos ayudan a entender (aparte de la unicidad de la factorización)?

Por ejemplo, $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio Euclídeo con la norma $a + bi \mapsto a^2 + b^2$, lo $\mathbb{Z}[i]$ es un PID y un UFD. Sin embargo, yo no veo lo que recogemos o perder por tener ideales sería lo principal. Tal vez los ejemplos de UFD que no están PID PID que no Euclidiana sería esclarecedor.

Answer 1

Una cosa que se obtiene es una noción de gcd. Si usted quiere encontrar $\gcd(x,y)$ en un PID, $R$, puede utilizar el hecho de que $(x)+(y)=(z)$ $z \in R$. Luego un gcd de $x$ y $y$ es cualquier generador de $(z)$. No es necesario un PID para esto sin embargo, puedes echar un vistazo aquí

Answer 2

Hay un montón de ejemplos de Ufd que no PIDs. El ejemplo más básico es el polinomio anillo de $\mathbb Z[X]$, que sin duda es un disco flash usb, pero el ideal de $(2,X)$ no es principal.

Sin embargo, en la teoría algebraica de números, uno de los principales objetos de estudio es el anillo de enteros de un campo de número, es decir, el anillo de $\mathcal O_K$ de todos los algebraica de números enteros en un campo de $K$ que es un campo finito de extensión de $\mathbb Q$ (por lo $K$ es un finito dimensionales $\mathbb Q$-espacio vectorial). En estos anillos, que son ejemplos de dominios de Dedekind, siendo una UFD es equivalente a ser un PID, por lo que para averiguar que los anillos tienen factorización única, es suficiente para saber que los anillos son PIDs. $\mathbb Z[i]$ es un ejemplo de un anillo, y es el anillo de enteros de $\mathbb Q(i)$. Un ejemplo de un anillo que no es un UFD (y por lo tanto no es un EPI) es $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$.

---

Si usted está buscando para obtener un resultado que se aplica específicamente a los PIDs:

Usted puede haber visto la estructura teorema de finitely generado abelian grupos, que dice que si $G$ es un finitely generado abelian grupo, a continuación, $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos.

Este teorema es un caso especial de la siguiente teorema más general (usando el hecho de que abelian grupos son exactamente $\mathbb Z$-módulos):

Deje $M$ ser un finitely generadas $R$-módulo, donde $R$ es un PID. Entonces no se determina únicamente ideales $$I_1 \supset I_2\supset\cdots\supset I_n$$such that $$M\cong \bigoplus_{i=1}^nR/I_i$$