límite de una función periódica

Question

Que $f$ ser un $1$-función periódica, es decir, $f(x+1)=f(x)$, definida en el intervalo de $(0, 1)$ por la fórmula $$ f (x) = x-1 2. $$ Para un número real $x$ considerar la serie $ \sum_{n=1}^\infty\frac{f(nx)} {n}. $$ Se ve fácilmente que la serie converge si $x$ es racional y si $f$ se supone que se desvanecen en todos números enteros.

¿Mi pregunta es: la convergencia tiene de irracional $x$?

También agradecería referencias a ningún resultado acerca de objetos afines.

Answer 1

No, la convergencia no se cumple para todos los irracionales $x$. Hay una cantidad no numerable de valores de $x$ para que las sumas parciales $\sum_{n=1}^N\frac{f(nx)}n$ son ilimitados. De hecho, el conjunto de valores de $x$ para que las sumas parciales están acotadas es escasa. Un conjunto (de reales) es muy pobre si se trata de una unión de countably muchos nada densa y, por la categoría de Baire teorema, el complemento de un escaso conjunto es no vacío y, de hecho, es incontable en el barrio de cualquier punto. Así que, en este sentido, el conjunto de valores de $x$ para el cual la suma converge es insignificante. Sin embargo, de ser pequeña en el sentido de ser un escaso conjunto no corresponden a la pequeñez en otros sentidos. En contraste con la afirmación que acabo de hacer, y va a demostrar en esta respuesta, la suma hace converger para casi todos los $x$ en la medida en la teoría de sentido. No hay contradicción entre estas declaraciones. Un escaso conjunto puede tener la plena medida de Lebesgue, como se discute en este matemática.MO pregunta.

Primero, como se señaló en la pregunta, la suma hace converger para $x=p/q$ racional ($p,q\in\mathbb{Z}$, $q > 0$). Esto es debido a que las partes fraccionarias de $nx$ es periódica y es igual a cada uno de los valores en el conjunto $\{k/q\colon0\le k < q\}$ exactamente una vez en cada período (suponiendo que la fracción está en su mínima expresión). Así, la suma de $f(nx)$ es cero en cada periodo, y los importes parciales $c_N\equiv\sum_{n=1}^Nf(nx)$ son acotados. Escrito $$ \begin{align} \sum_{n=1}^N\frac{f(nx)}n=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{c_n}{n(n+1)}+\frac{c_N}N,&&{\rm(1)} \end{align} $$ se puede observar que el límite existe como $N\to\infty$.

Te voy a mostrar que el conjunto de valores de $x$ para que esta suma converge es escasa. Te voy a mostrar algo más que eso. La elección de cualquier función de $\theta\colon\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}^+$ tal que $\theta(n)=o(\log n)$ (es decir, $\theta(n)/\log n\to0$$n\to\infty$) entonces el conjunto de $x$ de manera tal que las sumas parciales están acotadas por una corregido varios de $\theta$ es escasa. Este es un óptimo estado de cuenta como se puede demostrar que las sumas parciales de hacer crecer a una tasa $o(\log n)$ por cada $x$. Esto es debido a que Weyl la equidistribución teorema dice que $N^{-1}\sum_{n=1}^Nf(nx)$ tiende a 0 por lo tanto, poner $c_n=o(n)$ (1) da un plazo de fin de $o(\log N)$ en el lado derecho.

Ahora, arreglar cualquier número racional $r=p/q$ y elija $x$ en un intervalo de $(r-\epsilon,r)$ para algunos pequeños $\epsilon > 0$. Tenga en cuenta que para cualquier $y < x$ tenemos la desigualdad $f(y)\ge f(x)-2(x-y)$ $f(y)\ge f(x)-2(x-y)+1$ por entero $x$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{n=1}^N\frac{f(nx)}{n}&\ge\sum_{n=1}^N\frac{f(nr)-2n\epsilon+1_{\{nr\in\mathbb{Z}\}}}{n}\cr &=\sum_{n=1}^N\frac{f(nr)}{n}-2N\epsilon+\sum_{n=1}^N1_{\{q\vert n\}}\frac1n\cr &=-2N\epsilon+\sum_{m=1}^{\lfloor N/q\rfloor}\frac1{mq}+O(1)\cr &=-2N\epsilon+\frac1q\log(N/q)+O(1)\cr &=\frac1q\log N-2N\epsilon+O(1). \end{align} $$ El plazo $O(1)$ en el lado derecho depende de la elección de $r$ pero, por otra parte, está delimitado de forma independiente de $N$$\epsilon$. Si $\theta(N)$ es como la anterior, entonces, por la elección de $\epsilon$ muy pequeño y $N=\lceil1/\epsilon\rceil$ hemos $$ \sum_{n=1}^N\frac{f(nx)}{n}=\frac1q\log N+O(1) $$ que supera $\theta(N)$ $N$ lo suficientemente grande (es decir, cuando se $\epsilon$ es muy pequeña).

Por lo tanto, si dejamos $U$ ser la unión de los intervalos abiertos para $x$ en los que las sumas parciales de $c_N(x)\equiv\sum_{n=1}^Nf(nx)/n$ exceder $\theta(N)$ algunos $N$, $U$ es un conjunto abierto, incluyendo un intervalo abierto $(r-\epsilon,r)$ para cada racional $r$. Por eso, $U$ es un denso conjunto abierto. Su complemento es un cerrado en ninguna parte-denso conjunto. El conjunto de $x$ que $c_N(x)$ está delimitado por $\theta(N)$ está contenido en $\mathbb{R}\setminus U$, por lo que es muy pobre. Del mismo modo, para cada una de las $K > 0$, en sustitución de $\theta$ $K\theta$ en el argumento anterior, el conjunto de $x$ tal que $c_N(x)/\theta(N)$ está delimitado por $K$ es escasa. La elección de una secuencia $K_n\to\infty$ muestra que el conjunto de $x$ que $c_N(x)/\theta(N)$ está delimitado en $N$ es una contables de la unión de los escasos conjuntos y, por lo tanto, es muy pobre. QED