Identificar el mapa mirando el par de topologías que hace continua.

Question

Sea $\omega_X$ el conjunto de todas las topologías en $X$. Dadas $f:X\rightarrow X$, definir $R_f \subset \omega_X \times \omega_X $ como esos pares de topologías en $X$ que $f$ continua. Por ejemplo $\left(\text{Discrete Topology},-\right)$ o $\left(-,\text{Indiscrete Topology}\right)$ están siempre en $R_f$. ¿Pero cuando $f$ se puede determinar únicamente, por su $R_f$? Aquí es uno de esos casos: $$ \forall x \in X: f(x)=x \iff R_f= \left\{ \left(T_\alpha,T_\beta\right)\subset \omega_X \times \omega_X | T_\beta \subset T_\alpha \right\}$ $

¿Alguien me puede dar más ejemplos elaborative de esto por favor?

Answer 1

$R_f$ únicamente determina $f$ por el no-función constante $f:X \to Y$ (si, y sólo si, $f$ es constante, $R_f$$\omega_X\times\omega_Y$).

Prueba: Fix $y\in Y$. Definir la topología $T_y=\{\emptyset,Y,\{y\}\}$. A continuación, $(T,T_y)\in R_f$ fib:

• $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in T$ (siempre fiel)
• $f^{-1}(Y)=X\in T$ (siempre fiel)
• $f^{-1}(\{y\})\in T$

Tomar la intersección de todos los $T$: es el conjunto $T_0=\{\emptyset,X,f^{-1}(\{y\})\}$. Debido a $f$ no es constante, $f^{-1}(\{y\})\ne X$ $f^{-1}(\{y\})$ es el elemento más grande de $T_0\setminus\{X\}$.

Desde $f$ está determinada únicamente al $f^{-1}(\{y\})$ es para todos los $y$, esto demuestra el resultado.

(Nota: sólo fue necesario el uso de topologías con un número finito de abiertos conjuntos.)