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Derivan una nueva fórmula que relaciona secuencias aritméticas, creo!

Primero de todo, soy un grado 12, así que no sé cómo escribir notas de investigación. Así que por favor me perdone si mi forma de escribir no es tan impresionante!

No sé qué hacer para decirle al mundo acerca de lo que he encontrado. Así, puede ser que es estúpido, pero estoy publicando mi fórmula aquí en el Intercambio de la Pila.

Recientemente, yo estaba tratando de averiguar cómo encontrar el enésimo término de una serie o secuencia, donde las diferencias ($d$) entre los elementos de la serie no son constantes, pero si $d$ por cada $A_n - A_{(n-1)}$ está escrito en una secuencia, se da un AP.

Por ejemplo, la secuencia:

$A = 7, 14, 28, 49, ... n$

no es en AP

Pero tomando las diferencias de todos los $A_n - A_{(n - 1)}$ donde $n > 1$, obtenemos un AP:

$$A' = 7, 14, 21... $$

El de arriba AP tiene una diferencia común de 7.

Con el fin de encontrar $A_n$, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$$A_n = \frac {n - 1}{2} \{2a' + (n - 2) d' \} + a_1$$

Donde,

$a_1$ es el primer elemento en la secuencia

$$a' = a_2 - a_1$$

$$d' = a_3 - (a' + a_2)$$

No puedo describir aquí de cómo llegar a ese punto.

Aquí está la aplicación de la fórmula en la siguiente secuencia:

$$A = 7, 14, 28, 49, ... n$$

En la secuencia, vamos a $n = 3$ y tenemos que encontrar a $A_n$

$$a_1 = 7$$

$$a' = 14 - 7 = 7$$

$$d' = 28 - (14 + 7) = 7$$

Por la fórmula:

$$A_n = \frac {n - 1}{2} \{2a' + (n - 2) d' \} + a_1$$

$$A_3 = \frac {3 - 1}{2} \{2 \times 7 + (3 - 2) 7 \} + 7$$

$$A_3 = \frac {2}{2} \{14 + 7 \} + 7 = 28$$

Notas:

1) todavía estoy probando.

2) Hay otros métodos que existen para encontrar $A_n$ en este tipo de secuencias, puede ser que son más fácil, no sé.

3) no estoy seguro de si yo soy la primera persona que se derivan de esta fórmula, si no lo estoy, entonces me disculpo.

Quiero saber, si alguien ha encontrado algo mal con esto.

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Brevan Ellefsen Puntos 3175

Su método, si bien es interesante, no es nuevo: esto es simplemente un ejemplo de una relación de recurrencia. Una manera más fácil de resolver este problema es la primer nota que los dos siguientes sustracciones de los rendimientos de una constante (ver enlace en comentarios anteriores).

Ahora que hemos establecido las ecuaciones en forma cuadrática:
$de$un(1)^2+b(1)+c = 7 \implica a+b+c = 7\\ (2)^2+b(2)+c = 14 \implica 4a+2b+c=14\\ (3)^2+b(3)+c=28 \implica 9a+3b+c = 28$$
La solución de este, se obtiene la ecuación cuadrática $\frac{7}{2}x^2 -\frac{7}{2}x + 7$ que incluye todos sus puntos (en concreto números enteros mayores o iguales a $1$)

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user254665 Puntos 4075

Esto puede tomar más lejos: que $A^{(1)}_n=A^{(0)}_{n+1}-A^{(0)}_n$ y $A^{(2)}=A^{(1)}_{n+1}-A^{(1)}_n$ y $A^{(3)}_n=A^{(2)}_{n+1}-A^{(2)}_n$ y así sucesivamente. Entonces $A^{(j)}_n$ es una constante distinta de cero si y sólo si $A^{(0)}_n$ es una función polinómica de grado $n,$ puede demostrarlo por inducción en $j.$ $j.$

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