Este problema me dio encaja cuando yo estaba en la escuela de posgrado. Mirando hacia atrás ahora, todavía se me escapa. El problema es de Conway Funciones de Una Variable Compleja. Estoy buscando una prueba de los principios básicos, así que no hay grandes teoremas por favor.
Recuerdo que el principio del Palomar estaba involucrado, pero no parecen ser capaces de formular de la manera apropiada.
Deje $S$ ser la unidad de la circunferencia, y $T=\{e^{in}:n\in\Bbb N\}$. Para una fija $k$, $S$ puede ser paritioned en $$A_{m,k}=\left\{e^{i\theta}:\frac{2\pi i(m-1)}{k}\le\theta\le\frac{2\pi im}{k},m=0,\dots k-1\right\}$$. Ahora infinitamente muchos de los miembros de $T$ debe pertenecer a $A_{m,k}$. A continuación, $A_{m,k}$ se puede dividir en una forma similar, y de esta manera podemos crear una secuencia de conjuntos de $S_n$ tal que $S_{n+1}\subset S_n$ cada uno de los cuales contiene una infinidad de puntos de $T$.
Por eso, $\cap_{n=1}^{\infty}S_n$ no está vacío, y desde $\rm diam\, S_n\to 0$, entonces la intersección es un singleton, que es un punto límite de $T$. Pero esto no ayuda, ya sabemos $T$ tiene límite de puntos en $S$ porque es infinito y $S$ es compacto.
