¿Esta condición en un surjection continuo tiene un nombre?

Question

Deje $\pi : Y \to X$ ser un continuo surjection de espacios topológicos. Hace la siguiente condición en $\pi$ tiene un nombre?

Para cada $x \in X$, cada conjunto abierto $U$ contiene $x$, y cada una de las $y \in \pi^{-1}(x)$, existe una sección local $s : U \to Y$ $\pi$ (un mapa, tal que $\pi \circ s$ restringe a la identidad en $U$) tal que $s(x) = (s \circ \pi)(y) = y$.

Por ejemplo, cada (localmente trivial) el haz de fibras tiene esta propiedad, pero hay más ejemplos generales, tales como la proyección del círculo $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ a, digamos, el $x$-eje.

Answer 1

En el párrafo 2.7 de

George Janelidze y Walter Tholen, Cómo algebraica es el cambio de base functor? Notas de la conferencia en Matemáticas Volumen de 1488, 1991, pp 174-186,

estos mapas son llamados local split-epimorphisms o localmente sectionable.

Como ejemplos se mencionan local homeomorphisms, cubriendo los mapas, o la proyección de $X \to X/G$ donde $X$ es completamente regular $G$-espacio con $G$ un compacto de Lie del grupo. Señalan, además, que un local dividido epimorphism no necesita ser abierto, por ejemplo, la proyección de $(-1,1]\to \mathbb{R/Z}$ o surjective funciones polinómicas $\mathbb{R \to R}$.

Uno de los principales resultados del documento (Teorema 2.7) afirma que para que un local dividido epimorphism $p \colon X \to Y$ el cambio de base functor $p^\ast\colon \mathsf{Top}/Y \to \mathsf{Top}/X$ es monádico.

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Aquí está una captura de pantalla: