Sobre la diferencia entre primos consecutivos

Question

Dejemos que $(p_n)$ sea la secuencia de números primos y $g_n = p_{n+1} - p_n$

Pregunta : ¿Se sabe que $g_n \le n$ ?

Nota: : se sabe que $g_n < p_n^{\theta}$ con $\theta = 0.525$ para $n$ suficientemente grande (véase ici ), y que $p_n < n(\ln n + \ln\ln n )$ para $n \ge 6$ (ver ici ).
De ello se desprende que $g_n < (n(\ln n + \ln\ln n))^{\theta}$ para $n$ suficientemente grande .
Pero $(n(\ln n + \ln\ln n))^{\theta}<n$ , para $n \ge 2$ .
Conclusión : se sabe que $g_n \le n$ para $n$ suficientemente grande . ¿Se sabe por todos $n$ ?

Answer 1

Esto debería ser realmente fácil de responder utilizando las estimaciones explícitas de Pierre Dusart sobre las funciones relacionadas con los primos (y probablemente las desigualdades más antiguas de Rosser-Schoenfeld). Por ejemplo, la Proposición 6.8 en " Estimaciones de algunas funciones sobre primos sin R.H. " establece que para $x \ge 396738$ siempre hay un primo en el intervalo $(x, x + x/(25\ln^2 x)]$ .

Dado que esa diferencia es significativamente menor que $x/\ln x$ y bastante explícito, esto es ciertamente menos que $\pi(x)$ estableciendo la desigualdad para grandes $n$ . Combinado con el comentario de Galc127 sobre la verificación de pequeños $n$ que debería cubrir todos los casos.

Answer 2

No soy un experto, pero buscando en la literatura me dio la impresión de que el resultado no está explícito. Hay varios resultados asintóticos del tipo $g_n \ll p_n^{\epsilon}$ , por ejemplo, el resultado de Baker, Harman y Pintz de $2001$ que demostró que $g_n p_n^{\frac{21}{40}}$ . Suponiendo que RH pueda mejorar esto aún más.
La cuestión es si alguno de estos resultados puede hacerse explícito o no, de modo que podamos encontrar una constante explícita, digamos $c<10^8$ con $g_n<p_n^{\epsilon}$ para todos $n\ge c$ y algunos pequeños fijos razonables $\epsilon$ con $\frac{1}{2}< \epsilon <1$ . Si es posible, hemos terminado, y tenemos que $g_n<n$ para todos $n>4$ .

Edición: Las estimaciones explícitas de Dusart (ver la respuesta de Erick Wong) deberían darnos el resultado. También hay una referencia a un artículo de Schoenfeld donde muestra que $g_n\le 652$ para todos $p_n\le 2.685\cdot 10^{12}$ .

Answer 3

Estaba pensando en este problema, el otro día, y llegué a esta conclusión...

Definamos la secuencia $\epsilon_n$ tal que $$p_{n+1}-p_n=p_n^{\epsilon_n}$$ Según El postulado de Bertrand $$p_{n+1}-p_n=p_n^{\epsilon_n}<p_n$$ así $$0<{\epsilon_n} <1$$ De modo que $$\frac{p_{n+1}-p_n}{n}=\frac{p_n^{\epsilon_n}}{n}=\frac{1}{p_n^{1-\epsilon_n}}\cdot \frac{p_n}{n\ln{n}}\cdot \ln{n}<(1+\epsilon)\cdot \frac{\ln{n}}{p_n^{1-\epsilon_n}}<(1+\epsilon)\cdot \frac{\ln{n}}{n^{1-\epsilon_n}}$$ Sólo porque $p_n>n$ y $$\lim_{n \to \infty }\frac{p_n}{n\ln{n}}=1$$ De hecho $\epsilon_n< \theta$ lo que significa $1-\epsilon_n > 1- \theta>0$ (a partir de algún n, obviamente) así $$0<\frac{p_{n+1}-p_n}{n}<(1+\epsilon)\cdot \frac{\ln{n}}{n^{1-\theta}}\underset{n \to \infty }{\rightarrow}0$$