Podemos encontrar a través de dimensiones de análisis que la dimensión de la carga eléctrica que varía con la dimensión del espacio-tiempo $(D+1)$: $$[\text{charge}] = (\text{eV})^{(3-D)/2}.$$ Es adimensional si hay tres dimensiones espaciales ($D=3$). Usted puede ver a continuación la manera en que lo hice. La pregunta es: ¿por Qué ocurre esto? ¿Cuál es el significado de esto?
Estoy usando el Heaviside-Lorentz Unidades con Unidades Naturales ($\hbar = c = 1$) por lo que todas las dimensiones puede ser expresado en energía ($\text{eV}$).:
$$ \begin{align} [x] &= [t] = (\text{eV})^{-1}\\ [p] &= [E] = \text{eV} \end{align} $$
El uso de la acción a partir de la teoría de Maxwell $$ S = - \frac{1}{4} \int d^{1+D} x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} $$ y haciendo un análisis dimensional, $$ \begin{align} [S] &= [x]^{1+D} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ 1 &= (\text{eV})^{-D-1} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ [F^{\mu \nu}] &= (\text{eV})^{(D+1)/2} \end{align} $$ A continuación, utilizando la ecuación no homogénea $$ \partial_\nu F^{\mu \nu} = J^\mu $$ y haciendo un análisis dimensional $$ \begin{align} [\partial_\nu] [F^{\mu \nu}] &= [J^\mu]\\ eV eV^{(D+1)/2} &= [J^\mu]\\ [J^\mu] = (\text{eV})^{(D+3)/2} \end{align} $$
Ahora vamos a ver la carga de la dimensión. La relación de la carga con el $(1+D)$ de la densidad de corriente es
$$[J^\mu] = \frac{[\text{charge}]}{[x]^D}$$
Así, $$ \begin{align} (\text{eV})^{(D+3)/2} &= (\text{eV})^{D} [\text{charge}]\\ [\text{charge}] &= (\text{eV})^{(3-D)/2} \end{align} $$
Tenemos que sólo en $3+1$-dimensiones de la carga es adimensional. Si estamos en el $1+1$ y a las $1+5$ de la carga es igual que el tiempo.
En otro lugar me dijeron que (dimensión de la carga) tiene relación con la renormalizability de QED. Y que el hecho de que la carga es adimensional sólo en $3+1$ está relacionado con ecuaciones de Maxwell ser invariantes conformes a $3+1$.
