¿Puede tener un grupo contable uncountably muchos distintas topologías de grupo de Hausdorff?

Question

Pregunta. Puede una contables grupo tiene un número incontable de distintas Hausdorff grupo de topologías?

Por un grupo de topología uno entiende una topología con respecto a los cuales el grupo de operaciones son continuas. Por distintas que me refiero no isomorfos como grupos topológicos.

Motivación. Los ejemplos que tengo en mente son el pro-$p$ topologías en (por ejemplo) libre de grupos, que generalmente producen una infinita (pero contables) número de diferentes topologías. Podemos tomar una cantidad no numerable de subconjuntos $\varpi$ de los primos y mirar el pro-$\varpi$ topologías, pero no estoy seguro de que todos ellos son distintos.

Tenga en cuenta que un contable puede ser de topologised en una cantidad no numerable de formas.

(Curiosamente, parece que una especie de doble cuestión se ha preguntado antes, que apareció en la lista de preguntas similares.)

Answer 1

Sí, y el ejemplo que usted tiene en mente trabaja. En más detalle, las topologías en $\mathbb{Z}$ dado por su diagonal inclusiones en $\prod_{p \in S} \mathbb{Z}_p$ para todos los conjuntos de $S$ de los números primos son todos distintos, y hay una cantidad no numerable de ellos. Usted puede recuperar el conjunto $S$ a partir de la topología de la siguiente manera: mire todas las secuencias que convergen a $0$. Dada una secuencia, mirar el conjunto de $S'$ de los números primos $p$ para que el $p$-ádico norma de la secuencia converge a $0$. A continuación, $S$ es la intersección de todos los $S'$.