$A$ es normal y nilpotente, demuestre $A=0$

Question

Dada una matriz $A \in R^{n \times n}$ que es normal ( $AA^H=A^HA$ donde $A^H$ es hermitiana de $A$ ) y nilpotente ( $A^k=0$ para algunos $k$ ). Ahora tenemos que demostrar que $A=0$ .

(Esto es esencialmente el ejercicio 5(b) de la sec. 80 de la página 162 del libro de Paul R. Halmos Espacios vectoriales de dimensión finita .)

He intentado mostrarlo de la siguiente manera,

lo sabemos, $AA^H=A^HA$
pre-multiplicar por $A^{k-1}\implies A^kA^H=A^{k-1}A^HA$
Ahora, tenemos $0 = A^{k-1}A^HA$ ya que $A$ nilpotente.

No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí para mostrar $A=0$ . ¿Puede alguien ayudarme en este problema?

Answer 1

Aquí hay una prueba sin usar los valores propios o la diagonalización. A continuación demostramos la afirmación de que " si $A^k=0$ y $k>1$ entonces $A^{k-1}=0$ ". El resultado se obtiene inmediatamente.

1. Dejemos que $B=A^{k-1}$ . Entonces $B$ es normal y $B^2=0$ (porque $k>1$ ).
2. Para todos $x$ tenemos $\|B^\ast Bx\|^2 = (B^\ast Bx)^\ast (B^\ast Bx) = x^\ast B^\ast BB^\ast Bx=x^\ast B^\ast B^\ast BBx=0.$
3. Por lo tanto, $B^\ast Bx=0$ y a su vez $\|Bx\|^2 = x^\ast B^\ast Bx=0$ para todos $x$ .
4. Así que $Bx=0$ para todos $x$ . Es decir, $B=A^{k-1}=0$ .

Answer 2

Todos los valores propios de una matriz nilpotente deben ser cero (esto se puede ver tomando potencias de la forma canónica de Jordan). Una matriz normal es diagonalizable. Así que $A=U \Lambda U^H$ donde $\Lambda$ es la matriz diagonal que contiene los valores propios en la diagonal. Pero $\Lambda$ debe ser cero porque $A$ es nilpotente. Así que $A=U 0 U^H=0$ .

Answer 3

Si puedes usar el teorema espectral entonces sabes que $A$ es similar a una matriz diagonal $D$ . Desde $A$ es nilpotente, también lo es $D$ . Pero entonces $D$ necesita ser $0$ .