Un número entero positivo $n$ tal que $S(n) = 1996\cdot S(3n)$

Question

[Irlanda 1996] Encontrar un entero positivo $n$ tales que $S(n) = 1996\cdot S(3n)$, where $$ S representa la suma de los dígitos.

El libro "104 Número de problemas de la teoría de" da la siguiente solución:

Considerar el número de $n=1333....335$, donde hay $5986$ $3$'s entre el primer y el último dígito. A continuación se procede a explicar cómo este número que satisface las condiciones dadas. Mucho es lo suficientemente clara. Aquí va mi consulta:

Lo que debería haber instigado nos fijamos en este tipo de número? Las condiciones del problema le da a esta pregunta una muy siniestro aspecto. Me parece que no puede encontrar ninguna motivación para la consideración de un número.

Un poco de ayuda en la comprensión de la motivación detrás de la solución será apreciado.

Answer 1

En primer lugar, como dice Vadim, para mantener el $S(3n)$ pequeñas, usted puede asegurarse de $3n$ contiene varios ceros. También, desde la $n\equiv S(n)\pmod9$,$1996S(3n)\equiv1996(3n)\equiv3n\pmod9$. Si $S(n)\equiv n\equiv3n\pmod9$, debemos tener $S(n)\equiv n\equiv0\pmod9$. Así que si se hace bien, se puede arreglar $S(3n)$ y añadir una cantidad suficiente de material de relleno en el medio para aumentar el $S(n)$.

Como posibles respuestas, tenemos $1$ $5$ con $5986$ $3$'s en el medio, $2$ $4$ con $5986$ $3$'s o $4$ $8$ con $2992$ $6$'s. En todos los $3$ de estos casos, $S(3n)=9$, por lo que podemos calcular la cantidad de relleno es necesario para obtener el $S(n)=1996\times9$.