Determinar si es posible montar 2 círculos en un rectángulo

Question

Tengo el siguiente problema:

Dado un Rectángulo con $L$ longitud y $W$ ancho y $2$ círculos con $r_1$ $r_2$ radio, determinar si es posible el ajuste de estos dos círculos en el interior del rectángulo.

Me di cuenta de que:

Si $2r_1 > L$ o $2r_1 > W$ o $2r_2 > L$ o $2r_2 > W,$, entonces no es posible para adaptarse a los círculos en el rectángulo. Por lo tanto si $2 r_1 + 2r_2 \leq L$ $2r_1 + 2r_2 \leq W,$ pueden encajar en vertical o en horizontal.

Mi duda es comprobar si se puede encajar en diagonal? ¿Cómo la obtengo ?

Answer 1

Aquí está mi proceso de pensamiento aquí:

Es cierto que la mejor manera de proceder siempre va a ser palo a un círculo 'en una esquina del rectángulo y tratar de encajar el otro círculo en la esquina opuesta.' Puedo tomar esto a la ligera. Es muy fácil de entender, donde el centro de un círculo irá cuando el círculo está escondida en una esquina", como ambos lados del rectángulo será tangente a los círculos. Por ejemplo, si el rectángulo es en las coordenadas $(0,0), (0,h), (l,0),$$(l,h)$, y un círculo de radio $r_1$ está en la esquina inferior izquierda, luego las coordenadas de su centro se $(r_1, r_1)$. Si otro círculo, este uno de radius $r_2$, está ubicado en la esquina superior derecha, las coordenadas de su centro estará en $(l-r_2, h-r_2)$.

Así que uno tiene que comprobar dos cosas: uno tiene que asegurarse de que tanto los círculos de ajuste en el rectángulo de sí mismo (sin tener que preocuparse acerca de superposición), y entonces uno tiene que asegurarse de que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.

Por lo $2r_1, 2r_2 \leq l,h$ $d[(r_1,r_1), (l-r_2,h-r_2)] \geq r_1 + r_2$ debe ser necesaria y suficiente, en los que dejaba $d(\cdot, \cdot)$ denotar la función de distancia.

Answer 2

¿Puede ver que la mejor configuración es con los dos círculos en las esquinas opuestas, y que el límite es con la tangente de los círculos uno al otro? Dibujar dicha configuración tangente y ver si puede encontrar un uso para Pitágoras... y funcionan de que manera la desigualdad va. Puede establecer $R=r_1+r_2$, que parece que se podría simplificar el álgebra.