módulo de permutación dimensional de $n-1$ $S_n$

Question

Decir $n \ge 5$. Que $P$ sea el módulo de permutación dimensional $(n-1)$ $S_n$, es decir, la representación de la permutación en $\{(x_1, \dots, x_n) \in {\bf C}^n: \sum x_i = 0\}$. Demostrar que:

• $\wedge^2P$ siempre es un irreducible $S_n$ módulo;
• $\text{Sym}^2P$ siempre es isomorfo a la suma de la representación trivial, $P$ y un irreducible $S_n$-módulo.

¿Hay una manera para hacer este problema sin necesidad de utilizar algo "dominó" como pequeños retablos?

Answer 1

Escribir $G = S_n$. Recordemos que $$\mathbb{C}^n = P \oplus \text{span}(1, 1, \dots, 1).$$Let $\phi: \mathbb{C}^n \a P$ be the projection and $e_1, \dots, e_n$ the standard basis for $\mathbb{C}^n$. Therefore, $\phi$ is given explicitly as $$\phi(x_1, \dots, x_n) = (x_1 - \overline{x}, \dots, x_n - \overline{x}),$$where $$\overline{x} = {{\sum x_i}\over{n}}.$$Let $f_i = \phi(e_i)$.

El mapa de $\Psi: \mathbb{C}^n \to P \otimes P$ definido por$$\Psi: \sum a_ie_i \mapsto \sum a_i(f_i \otimes f_i)$$is a $G$-homomorphism. Its image lies in $\text{Símbolo}^2$, y es inyectiva.

Aquí es cómo probar la inyectividad. Ser $G$-homomorphism, si $\Psi$ no inyectiva, su núcleo sería una subrepresentation de $\mathbb{C}^n$; las únicas posibilidades son $\text{span}(1, 1, \dots, 1)$$P$. En el primer caso, $$\Psi\left(\sum e_i\right) = 0 \implies \sum_i f_i \otimes f_i = 0$$and, in the second case, $$\Psi(e_1 - e_2) = 0 \implies f_1 \otimes f_1 = f_2 \otimes f_2.$$However, $f_1, \dots, f_{n-1}$ is a basis for $P$, and thus, $f_i \otimes f_j$ $(1 \le i,\, j \le n-1)$ is a basis for $P \otimes P$; this together with the fact that $$f_n = -f_1 - f_2 - \dots - f_{n-1}$$muestra de que ni la posibilidad de que se produce.

Tenga en cuenta también que $$\dim \text{Sym}^2P = {{n(n-1)}\over{2}} > n,$$and we have just shown that $\mathbb{C}^n$ is isomorphic to a subrepresentation of $\text{Símbolo}^2P$. Therefore, $\text{Símbolo}^2 P$ decomposes as a direct sum of $1$, $P$, and another representation $X$ $($not necessarily irreducible$)$. Consequently,$$P \otimes P \cong 1 \oplus P \oplus X \oplus \wedge^2 P.$$Note now that $\langle \chi_{P\otimes P}, \chi_{P\otimes P}\rangle \ge 4$ with equality if and only if $X$, $\wedge^2 P$ are irreducible. We shall show that equality holds; this implies that $X$ and $\wedge^2 P$ ambos son irreductibles, como se desee.

Deje $\chi_P$ ser el personaje de $P$, por lo que el $\chi_P(g) = \text{Fix}(g) - 1$ donde $\text{Fix}(g)$ indica el número de puntos fijos de $g$$\{1, 2, \dots, n\}$. Entonces$$\langle \chi_{P \otimes P}, \chi_{P \otimes P}\rangle = {1\over{|G|}} \sum_{g \in G} (\text{Fix}(g) - 1)^4$$$$= {1\más{|G|}} \sum_{g \in G} (\text{Fix}(g)^4 - 4\text{Fix}(g)^3 + 6\text{Fix}(g)^2 - 4\text{Fix}(g) + 1).$$Now¹$${1\over{|G|}} \sum_{g \in G} \text{Fix}(g)^j = \text{# of }G\text{-orbits on }\{1, \dots, n\}^j.$$It remains to count the number of $S_n$-orbits on $\{1, \puntos, n\}^j$ for each $1 \le j \le el 4$. For example, with $j = 3$, there are five orbits: $\{(x, y, z)\text{ }|\text{ }x,\, y\ z\text{ todos distintos}\}$, $\{(x, x, y)\text{ }|\text{ }x \neq y\}$, $\{(x, y, x)\text{ }|\text{ }x \neq y\}$, $\{(y, x, x)\text{ }|\text{ }x \neq y\}$, and finally $(x, x, x)$. In all cases, the variables $x$, $s$, $z$ are understood to take values in $1, \dots,$n.

Vamos a abreviar este razonamiento diciendo lo siguiente.

Hay una órbita de tipo $(x, y, z)$, tres órbitas de tipo $(x, x, y)$, y una órbita de tipo $(x, x, x)$.

Razonamiento similar:

$j = 1$. Una órbita.

$j = 2$. Dos órbitas: uno de tipo $(x, y)$, uno de tipo $(x, x)$.

$j = 3$. Cinco órbitas $($sobre$)$.

$j = 4$. Quince de las órbitas: uno de tipo $(x, y, z, w)$, seis de tipo $(x, x, y, z)$, cuatro de tipo $(x, x, x, y)$, tres de tipo $(x, x, y, y)$, uno de tipo $(x, x, x, x)$.

Por lo tanto,$$\langle\chi_{P \otimes P}, \chi_{P \otimes P}\rangle = 15 - 20 + 12 - 4 + 1 = 4,$$concluir la prueba.

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1Indeed, si $G$ es cualquier grupo finito que actúa sobre el conjunto de $X$, $($Burnside del Lema$)$$${1\over{|G|}} \sum_{g \in G} \text{Fix}(g)$$is the number of orbits of $G$ on $X$; apply this with $X = {1, \dots, n}^j$.

Para demostrar Burnside del Lexema, tenga en cuenta que $${1\over{|G|}} \sum_{g \in G} \text{Fix}(g) = \langle \chi_{\mathbb{C}X}, 1\rangle,$$ where $\mathbb{C}X$ is the permutation representation of $G$ associated to $X$. This inner product equals the dimension of the space of $G$-invariant vectors on $\mathbb{C}X$ $($why?$)$. But a function $f: X \to \mathbb{C}$ is $G$-invariant if and only if it is constant on each $G$-orbit; thus, the dimension of $G$-invariants equals the number of $G$de las órbitas.

Answer 2

Estas preguntas pueden ser contestadas con un poco de carácter teórico. Si usted puede trabajar el carácter de $P$, entonces el personaje de $\wedge^2 P$ no es tan malo. Por ejemplo, buscar en la parte inferior de la segunda respuesta de esta pregunta. Simétrica y exterior del poder de representación

Una vez que usted puede calcular el carácter de las correspondientes representaciones, la búsqueda de sus descomposiciones no es tan difícil. Si usted tiene preguntas, podemos discutir en los comentarios.