Hay un dominio en $\mathbb{R}^3$ finitos no trivial $\pi_1$ pero $H_1=0$?

Question

El exterior de la Cornuda de Alexander Esfera ha $H_1=0$ pero $\pi_1\neq 0$, de hecho, $\pi_1$ es infinito. (Ver Hatcher p.171-172). Hay un ejemplo de un dominio (con conexión abierta) en la $\mathbb{R}^3$ donde $\pi_1$ es no-trivial, pero finito, y $H_1=0$?

(Esta pregunta fue estimulada por la pregunta Ejemplo de un dominio en R^3, con trivial primera homología pero no trivial grupo fundamental.)

Answer 1

Aquí es un teorema general que hace el trabajo:

Teorema. Si $\Omega$ es un abierto conectado subconjunto de $R^3$ $\pi_1(\Omega)$ es de torsiones.

Prueba. Supongamos que no. Es un teorema de D. B. A. Epstein (ver teorema 9.8 en el libro "las 3-variedades" de J. Hempel) que si $M$ está conectado orientadas 3-colector de cuyo grupo fundamental ha trivial elementos finitos para, a continuación, $M$ se divide conectado suma $M=M_1 \# M_2$ donde $M_1$ es un compacto de colector con $\pi_1(M_1)$ finito y no trivial. Ahora, la aplicación de este teorema para el dominio $\Omega$ obtenemos que $S^3$ contiene un compacto submanifold $N$ con vacío límite, de tal manera que $\pi_1(N)$ es finito y no trivial. De ello se deduce que el límite de $N$ es un discontinuo de la unión de 2-esferas (ver mi respuesta aquí). Sin embargo, la fijación de bolas para la esférica límite de los componentes de un colector de dimensión $\ge 3$ no cambia su grupo fundamental. Por lo tanto, $\pi_1(S^3)\cong \pi_1(N)$ es finito y no trivial. Contradicción. qed