¿Cómo puedo determinar los parámetros de Weibull a partir de los datos?

Question

Tengo un histograma de los datos de la velocidad del viento que suele representarse mediante una distribución weibull. Me gustaría calcular la forma de Weibull y los factores de escala que dan el mejor ajuste al histograma.

Necesito una solución numérica (a diferencia de soluciones gráficas ) porque el objetivo es determinar la forma weibull de forma programada.

Editar: Las muestras se recogen cada 10 minutos y la velocidad del viento se promedia a lo largo de los 10 minutos. Las muestras también incluyen la velocidad máxima y mínima del viento registrada durante cada intervalo, que por el momento se ignoran pero que me gustaría incorporar más adelante. El ancho de la bandeja es de 0,5 m/s

Answer 1

Utilice fitdistrplus:

Necesito ayuda para identificar una distribución por su histograma

Este es un ejemplo de cómo se ajusta la distribución de Weibull:

library(fitdistrplus)

#Generate fake data
shape <- 1.9
x <- rweibull(n=1000, shape=shape, scale=1)

#Fit x data with fitdist
fit.w <- fitdist(x, "weibull")
summary(fit.w)
plot(fit.w)

Fitting of the distribution ' weibull ' by maximum likelihood 
Parameters : 
       estimate Std. Error
shape 1.8720133 0.04596699
scale 0.9976703 0.01776794
Loglikelihood:  -636.1181   AIC:  1276.236   BIC:  1286.052 
Correlation matrix:
          shape     scale
shape 1.0000000 0.3166085
scale 0.3166085 1.0000000

Answer 2

Estimación por máxima verosimilitud de los parámetros de Weibull puede ser una buena idea en su caso. Una forma de distribución de Weibull tiene el siguiente aspecto:

$$(\gamma / \theta) (x)^{\gamma-1}\exp(-x^{\gamma}/\theta)$$

Dónde $\theta, \gamma > 0$ son parámetros. Dadas las observaciones $X_1, \ldots, X_n$ la función de probabilidad logarítmica es

$$L(\theta, \gamma)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\log f(X_i| \theta, \gamma)$$

Una solución "basada en la programación" sería optimizar esta función mediante una optimización con restricciones. Resolver la solución óptima:

$$\frac {\partial \log L} {\partial \gamma} = \frac{n}{\gamma} + \sum_1^n \log x_i - \frac{1}{\theta}\sum_1^nx_i^{\gamma}\log x_i = 0 $$ $$\frac {\partial \log L} {\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2}\sum_1^nx_i^{\gamma}=0$$

Sobre la eliminación $\theta$ nos encontramos con que:

$$\Bigg[ \frac {\sum_1^n x_i^{\gamma} \log x_i}{\sum_1^n x_i^{\gamma}} - \frac {1}{\gamma}\Bigg]=\frac{1}{n}\sum_1^n \log x_i$$

Ahora esto se puede resolver para la estimación de ML $\hat \gamma$ . Esto se puede lograr con la ayuda de los procedimientos iterativos estándar que se utilizan para encontrar la solución de la ecuación como -- Newton-Raphson u otros procedimientos numéricos.

Ahora $\theta$ se puede encontrar en términos de $\hat \gamma$ como:

$$\hat \theta = \frac {\sum_1^n x_i^{\hat \gamma}}{n}$$