Primaria de la descomposición de los módulos

Question

Estoy muy curioso acerca de la definición y aplicaciones de la primaria de la descomposición de los módulos.

1. La definición de primaria de un submódulo. (Vamos a suponer que trabajamos a través de una conmutativa noetherian anillo de $R$ e una $R$-módulo de $M$) Cuando por primera vez trabajó en Atiyah-Macdonald he utilizado esta definición:

Un submódulo $N$ $M$ es primario si cualquier cero divisor a $M/N$ es nilpotent.

Pero recientemente me vi en la definición del Matsumura, el álgebra conmutativa, que es ligeramente diferente:

Un submódulo $N$ $M$ es primario si cualquier cero divisor a $M/N$ a nivel local es nilpotent, es decir, si $a$ es un divisor de cero, entonces para cualquier $x \in M/N$ existe $n$ possibliy dependiendo $x$ tal que $a^n x = 0$.

Por supuesto, estas dos definiciones de acuerdo al $M$ es finita $R$-módulo. (que supongo que es el caso más interesante), Pero lo que debería ser el "derecho" de la definición de la situación general?

1. La aplicación de este. Es esta la generalidad de cualquier uso? Si M es finito, entonces sé que admite una filtración con cocientes de ser $R/{\mathfrak{p}_i}$ donde $\mathfrak{p}_i$ se asocian los números primos. Esto parece ser muy útil en algunas pruebas. Pero lo que sobre el caso donde M es infinito?

3 Geométrica significado. Primaria de la descomposición de un ideal I en R está relacionado con la irreductible componentes de $\mathrm{Spec}(R/I)$. ¿Hay algo similar para el módulo de caso?

Muchas gracias!

Edit: Como todavía no parece haber un claro consenso de respuestas, sería genial si los expertos podría pesar.

Answer 1

La segunda definición es la correcta (al menos en mi opinión). Es similar a la correcta noción de la definición de torsión. Por ejemplo, uno no en general que desea definir un grupo abelian Un ser p-torsión iff p^nA = 0 como esto excluye, por ejemplo, el Prufer p-grupo , que sin duda debe ser una torsión de grupo, pero no fija potencia de p va a matar a todos. En particular, es inyectiva sobre Z/pZ en la categoría de abelian grupos y así ha de apoyo = {(p)} que significa su única asociada de primer orden es (p) también. Esto hace que el Prufer p-grupo p-coprimary con respecto a la segunda definición, que es una "especie de extensión" el hecho de que un finitely módulo generado más de un noetherian anillo es coprimary fib tiene en la mayoría de un solo asociada de primer orden.

Este ejemplo con el Prufer p-grupo se extiende a indecomposable inyectiva los módulos a través de noetherian anillos conmutativos con unidad - así que supongo que mi justificación es que hace que todos los chicos coprimary con respecto a la ideal y se alinea con la noción de derecho de torsión.

La respuesta a la segunda pregunta es sí, yo creo que..., Por ejemplo, la noción de derecho de apoyo es algo sutil para no finitely módulos generados y (aunque nunca he pensado en ello de esta manera antes) siendo P-coprimary para algunos el primer ideal P entra arriba.

Answer 2

Mi respuesta a 1. es que Atyiah-MacDonald, probablemente, da la definición correcta. Matsumura, como la mayoría de los otros libros que yo sepa, solo se trata primaria descomposición para Noetherian anillos. En este caso, las cosas son más sencillas: por ejemplo, el conjunto de los números primos que aparecen en un mínimo de primaria de la descomposición es el conjunto de los asociados de los números primos, algo que falla, en el caso general. Ver esta pregunta para obtener más detalles.

Atyiah-MacDonald, en cambio, da la singularidad teoremas sin la Noetherian hipótesis (a pesar de que tratar el caso de los módulos sólo en los ejercicios). Por esta razón, algunas de las definiciones son ligeramente diferentes. Cuando todo es Noetherian por supuesto, no hay diferencia, pero sin Noetherian suposiciones, yo me quedaría con las definiciones de Atyiah-MacDonald.