En el corazón de la clave es una idea bastante simple. Es decir, uno de los puntos de vista de las funciones, endomorphisms, etc. como "números" y los manipula como tal (donde válido). E. g. para que un derivado $\rm D = d/dx\ $ tenemos que $\rm D^2 - c^2\ =\ (D - c)(D + c) $ al igual que para los números, siempre $\rm\:D\:$ viajes con $\rm\:c\:$, es decir, $\rm\:c\:$ es constante. Por lo que podemos resolver constante coeficiente diferencial lineal / ecuaciones de diferencia, simplemente mediante la factorización de su operador ("carácter") polinomios en factores lineales sobre $\mathbb C$. También se puede igualmente realizar trascendental operador manipulaciones tales como
$$\rm f(D)\ e^{t\:x}\ =\ f(t)\ e^{t\ x}$$
$$\rm e^{\:t\ D}\ f(x)\ =\ f(x+t) $$
$$\rm t^{x\ D}\ f(x)\ =\ f(t\: x) $$
y la generalización de la Regla de Leibniz
$$\rm g(D)\ f(x)\ = \ \sum_{n=0}^\infty\ \frac{f^{(n)}(x)\ g^{(n)}(D)}{n!}$$
Para más detalles, véase la Romana: Umbral de Cálculo y Rainville: Funciones Especiales y especialmente Rota: Finito operador de cálculo.
