Combinación lineal de las matrices

Question

Deje $A, B, C, D$ cuatro linealmente independientes simétrica de 3 x 3 matrices más de $\mathbb K$. Demostrar que alguna combinación lineal de estas matrices es la matriz de la rango 1.

Sé que se supone que debe ser una cuestión en la Geometría Algebraica, por lo que debe ser interesante :)

Answer 1

En primer lugar, usted necesita para asumir ese $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado. Por ejemplo, más de $\mathbb{R}$, tomar

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0 \\0&-1&0\\0&0&0 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0 \\0&-1&0\\0&0&1 \end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1 \\0&0&0\\1&0&0 \end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0 \\0&0&1\\0&1&0 \end{array}\right)$$ Las matrices son linealmente independientes, y cada uno tiene rango 2. Pero ninguna combinación lineal da un rango de 1 matriz de ( $\mathbb{C}$ , usted puede tomar $c_1=1,c_2=-1,c_3=i,c_4=0$).

Así que supongamos $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado. Usted puede también muestran que una combinación de las matrices de factores como el producto de $\alpha\alpha'$ para algunos no-vector cero $\alpha\in \mathbb{K}^3$. Así que usted quiere resolver para $$\alpha\alpha=\sum_{i}c_iA_i$$ donde el lado izquierdo es $$\alpha\alpha=\left(\begin{array}{ccc}\alpha_1^2& \alpha_1\alpha_2& \alpha_1\alpha_3\\\alpha_1\alpha_2&\alpha_2^2&\alpha_2\alpha_3\\\alpha_1\alpha_3&\alpha_2\alpha_3&\alpha_3^2 \end{array}\right)$$ Por simetría, sólo se necesita para resolver la mitad superior. Esto le da 7 indeterminates $(\alpha_i,c_i)$'s y 6 ecuaciones llamarles $f_j$'s. Ahora cada ecuación gotas de la dimensión de $\mathbb{K}[\alpha_i,c_i]$ en 1. Más precisamente, el conjunto de $X=\mathrm{Spec}(K[\alpha_i,c_i]/(f_j))$. A continuación, $X$ tiene dimensión al menos 1 como una variedad. Ahora si $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado, los puntos en $X$ son geométricas, es decir, son elementos en $\mathbb{K}^3$. Ahora (por la hipótesis de independencia lineal), el conjunto de puntos en $X$ a que $\alpha\alpha'$ tiene rango 0 es una subvariedad de dimensión 0 (es decir, es el origen). así que usted puede elegir cualquier punto fuera de ella (que existe por la dimensión razones), y esto le da un par de $(\alpha_i,c_i)$ tal que $\alpha\alpha'$ es de rango 1.