¿Por qué no $y=(x^6)^{1/3}$ una función polinómica?

Question

Me han dicho que $y=(x^6)^{1/3}$ no es una función polinómica debido a la radical, pero creo que la ecuación puede ser simplificada a $y=x^2$ que se ajusta a la definición de una función polinómica.

Answer 1

Elevar a no exponentes de números enteros plantea algunos problemas. Uno podría definir $x^{1/3}$ también para valores negativos de $x$, debido a que esta es esencialmente la raíz cúbica; pero mientras que $\sqrt[3]{x}$ no es ambigua, una fracción no cambia de acuerdo a su representación: $$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6}, $$ pero la escritura $x^{1/3}=x^{2/6}$ al menos plantea algunas dudas.

Mi opinión personal es que los poderes no exponentes de números enteros siempre debe estar vinculado a los valores positivos de la base, haciendo manipulaciones algebraicas posible sin restricciones. Por lo tanto, si se unen $x$ a ser positivo, tenemos las verdaderasidentidades $$ x^{1/3}=x^{2/6}=(x^2)^{1/6}=(x^{1/6})^2, $$ que sería totalmente falso si $x<0$ fueron permitidos.

Reconozco que otros no piensan de esta manera y definir $x^{p/q}$ ($p$ y $q$ enteros, $q\ne0$) también para valores negativos de $x$ $p$ $q$ son coprime y $q$ es impar.

¿Qué es la convención utilizada en un libro de texto debe ser claramente expresado desde el principio. No hay ninguna ley en el reparto en la piedra sobre esto (y la mayoría de las matemáticas, tampoco). Diferentes campos de las matemáticas el uso de los diferentes convenios; sólo pensar en el concepto de función en sí misma: en varios campos de funciones debe tener bien definido el dominio y codominio, mientras que en el Análisis de esta no se hace cumplir estrictamente. No es un problema, siempre y cuando uno se hace consciente de la convención.

En su caso no hay ninguna duda: la función de $x\mapsto(x^6)^{1/3}$ supone, para cada una de las $x$, el mismo valor que la función de $x\mapsto x^2$. Por lo tanto las dos funciones son iguales y, de ser $x\mapsto x^2$ claramente una función polinómica, la conclusión es obvia.

Por otro lado, $x\mapsto(x^2)^{1/2}$ es no una función polinómica, porque es el mismo que $x\mapsto|x|$ y no hay ningún polinomio de la forma de esta función: funciones polinómicas son en todas partes diferenciables, $x\mapsto|x|$ no es diferenciable en a $0$.

Answer 2

se sentó menos en $\mathbb{C}$ funciones $f(x) := (x^6)^\frac{1}{3}$ $g(x) := x^2$ no son iguales, como $f(\sqrt[3]{i}) = (i^2)^\frac{1}{3} = -1$$g(\sqrt[3]{i}) \not\in \mathbb{R}$.

Edit: Uy. Como los comentarios stare $f$ no está bien definido en $\mathbb{C}$, así que mi respuesta no funciona así de fácil. Lo siento

Answer 3

Salman Khan habla sobre que en uno de sus (muchos) de vídeos.
Es el comienzo de este video:
Acerca de polinomios
Espero que ayuda a la comprensión de los polinomios.

Answer 4

Voy a ser un poco pedante (pero ese es mi trabajo).

Quiero distinguir entre una función y la forma en que la función se especifica. Las funciones $$ f_1 : \mathbb R \to \mathbb R: x \mapsto x \\ f_2 : \mathbb R \to \mathbb R: x \mapsto (x+1) - 1 $$ son idénticas funciones (tienen el mismo dominio, codominio, y de relación), pero han sido especificados de manera diferente.

Más a menudo, vemos que las funciones especificadas por la relativamente simples expresiones, es decir, las cadenas de caracteres que reconocemos como sintácticamente correcta y semánticamente válido cosas. Pero a veces son especificados por tablas, o "casos" (una expresión que se usa para$x > 2$,$x \le 2$, por ejemplo), etc.

Algunas expresiones son llamados "polinomios en $x$"; consisten en una suma finita de términos, cada término es (a) una constante, o (b) el producto de una constante (que puede ser omitido si es $1$) y un entero positivo poder de $x$. Términos donde la constante es negativa puede tener un "además" se sustituye por una resta, por lo que el $4 + -2x^2$ puede ser escrito $4 - 2x^2$.

La expresión $(x^6)^{\frac{1}{3}}$ a que no cumple los criterios para ser un polinomio. La expresión $x^2$ no cumple con los criterios. Si yo hubiera sido la de hablar con usted acerca de esta cosa (lo que significaba que yo estaba en un muy formales del estado de ánimo), me han dicho que "La descripción de la función $y = (x^6)^\frac{1}{3}$ no define la función a través de una expresión polinómica. Es, sin embargo, idénticos, como una función, que puede ser definido a través de un polinomio de expresión."

En la práctica, esto casi nunca importa.

Tendemos a ser descuidado y decir que la función "no es polinomio" cuando queremos decir que la descripción no es un polinomio, y todo el mundo a poco se consigue, y en los que nos movemos. De la misma manera, a veces decimos "El vector $v$ es una combinación lineal de los vectores $x_1$$x_2$." Lo que realmente queremos decir es que hay un lineal-combinación-expresión cuyo valor pasa a ser $v$, pero la distinción casi nunca importa en gran parte de las matemáticas. Supongo que en la lógica y la semántica formal, no importa mucho, pero esos no son mis áreas, así que no puedo decir.