Supongamos que $F$ es un campo y que $u \in F(x):= \{PQ^{-1}:P,Q \in F[x], Q\neq 0 \}$, por lo que el $F \subseteq F(u) \subseteq F(x)$. Hay un método general para determinar el $[F(x):F(u)]$?
Para mi tarea problema que se me ha dado el caso específico de $u := \frac{x^3}{x+1} = x^2-x+1-\frac{1}{x+1}$ y aún no hemos pasado nada remotamente parecido a un problema como este en clase. La sugerencia fue para elegir a$v \in F(x)$, de modo que $F(u,v) = F(x)$.
Si tuvimos un $v$ $[F(x):F(u)] = [(F(u))(v):F(u)]$ que es igual que el mínimo grado de un polinomio con coeficientes en $F(u)$ ha $v$ como una raíz. Pero no sé cómo encontrar un polinomio, ni es obvio que uno existe.
Si tomamos $v:=x$ sin duda $F(u,x)=F(x)$ pero yo no tenía el progreso de este. Yo estaba pensando en escribir una secuencia de comandos de Mathematica para tratar de azar polinomios, pero no creo que este es el método de solución.
Yo también estaba pensando que podría ser significativo el hecho de que las raíces del numerador y el denominador de $u$ son 0 y 1, es decir, son elementos de $F$.
Cualquier ayuda se agradece.
