Funciones propias del operador Laplace-Beltrami de un toro

Question

Las eigenfunciones del operador Laplace-Beltrami del toro plano $ \mathbb {T}^2= \mathbb {R}^2/ \mathbb {Z}^2$ y su multiplicidad son bien conocidas.

¿Qué pasa si cambiamos los lados del toro y consideramos dos lados que no son conmensurables, por ejemplo $ \mathbb {T}_{1, \sqrt {2}}^2= \mathbb {R}^2/( \mathbb {Z} \times\sqrt {2} \mathbb {Z}$ )?

¿Cuáles son las funciones propias del operador de Laplace-Beltrami de $ \mathbb {T}_{1, \sqrt {2}}^2$ y su multiplicidad

Gracias de antemano

Answer 1

Este es un buen ejercicio. En general, considere un toro plano $ \mathbb {R}^n/ \Gamma $ donde $ \Gamma $ es un enrejado. Afirmo que las funciones propias del lapón en este caso están dadas por

$$f_w : \mathbb {R}^n \ni v \mapsto e^{2 \pi i \langle v, w \rangle } \in \mathbb {C}$$

donde $w$ corre sobre todos los elementos de la doble rejilla $ \Gamma ^{ \vee }$ que consiste en todos los vectores de tal manera que $ \langle v, w \rangle \in \mathbb {Z}$ para todos $v \in \Gamma $ . Esta es una condición necesaria y suficiente para que una función definida como la anterior sea $ \Gamma $ -invariante. El valor propio de $f_w$ es $-4 \pi ^2 \langle w, w \rangle $ por cálculo directo; así pues, las multiplicidades están controladas por las multiplicidades de las longitudes de los vectores en $ \Gamma ^{ \vee }$ .

En este caso particular, si $ \Gamma $ se extiende por $(1, 0)$ y $(0, \sqrt {2})$ entonces $ \Gamma ^{ \vee }$ se extiende por $(1, 0)$ y $ \left ( 0, \frac {1}{ \sqrt {2}} \right )$ . Un vector $ \left ( n, \frac {m}{ \sqrt {2}} \right ) \in \Gamma ^{ \vee }$ (para que $n, m \in \mathbb {Z}$ ) tiene longitud $n^2 + \frac {m^2}{2}$ así que la multiplicidad de un valor propio $-4 \pi ^2 \langle w, w \rangle $ está determinado por la cantidad de formas en que se puede escribir $ \langle w, w \rangle $ en esa forma.

Para mostrar que esta construcción da todas las eigenfunciones se puede mostrar que la envergadura de estas eigenfunciones es densa en funciones continuas en $ \mathbb {R}^n/ \Gamma $ por Stone-Weierstrass. Cualquier función propia restante puede ser elegida para ser ortogonal a estas, así que no puede quedar ninguna.

Por cierto, esta es una forma relativamente sencilla de construir ejemplos de colectores de Riemann que son isospectrales pero no isométricos: basta con encontrar dos celosías con el mismo función theta que no son isométricos (utilizando el hecho de que, por suma de Poisson, la función theta de una red determina la función theta de su red dual). Esta observación se debe a Milnor; véase la página 30 de estas notas de Elkies .

Answer 2

Quería seguir la respuesta de Qiaochu discutiendo la multiplicidad de los valores propios. Como menciona Qiaochu, para cualquier $w = (m_1, m_2/ \sqrt {2})$ , $m_1,m_2 \in \mathbb {Z}$ en la red dual, la función $ \mathbb {R}^2 \rightarrow \mathbb {C}, \, v=(v_1,v_2) \mapsto f_w(v)$ dado por $$f_w(v) = \exp\left (2 \pi i \left (v_1m_1+ \frac {v_2m_2}{ \sqrt {2}} \right ) \right )$$ es $ \Gamma $ -periódico y desciende a un mapa en el toro. Además, es una función propia de $ \Delta $ , $$ \Delta f_w = -4 \pi \left (m_1^2 + \frac {m_2^2}{2} \right )f_w,$$ con eigenvalor $-4 \pi (m_1^2+m_2^2/2).$

Vemos que los valores propios son de la forma $-4 \pi (n/2) = -2 \pi n$ con multiplicidad $$\# \left\ {(m_1,m_2) \in \mathbb {Z}^2 : 2m_1^2 + m_2^2 = n \right\ }.$$ Tengan en cuenta que $2m_1^2+m^2$ es una forma cuadrática positiva y definida con discriminante $D=-8$ . Tenga en cuenta que el número de clase $h(D) = h(-8) = 1$ de este discriminante es $1$ que también se puede ver examinando el estrecho número de clase del campo numérico correspondiente $ \mathbb {Q}( \sqrt {-2})$ . Dirichlet elaboró el número de representaciones de formas cuadráticas con número de clase $h(D)=1$ . En particular, para $D=-8$ tenemos que la multiplicidad del valor propio $-2 \pi n$ es $$\# \left\ {(m_1,m_2) \in \mathbb {Z}^2 : 2m_1^2 + m_2^2 = n \right\ } = 2 \sum_ {d | n} \left ( \frac {-8}{d} \right ),$$ donde $( \frac { \cdot }{ \cdot })$ es el El símbolo de Kronecker .

Una buena referencia para más información sobre el número de representaciones de las formas cuadráticas es el capítulo 11 del libro de Iwaniec Temas en las formas automórficas clásicas .

Answer 3

Berger, Gauduchon y Mazet estudiaron este caso en "Spectre d'une variété Riemannienne" y demostraron que los toros planos isoscópicos de dimensión 2 (y 1) son isométricos. Para ello, proporcionan una descripción completa del espectro de cada Toro plano de dimensión 2. Sin embargo, este resultado no es cierto para todas las dimensiones como se muestra en el mismo libro. La pregunta más general relacionada es "¿Podemos aquí la forma de un tambor?". Para el caso del tori esto es: Para cualquier par de toros planos de dimensión $m$ ¿la isoespacialidad implica la existencia de una isometría entre los toros? Sí, para las dimensiones 1, 2 y 3. Ya no para las dimensiones superiores. Nótese que el caso de la dimensión 3 fue probado en 1997 por Schiemann.

Berger y otros demostraron lo siguiente:

Deje que $ \Gamma $ ser una red de máximo rango en $ \mathbb R^2$ es decir, hay $ \bf {e}_1, \bf {e}_2$ una base de $ \mathbb R^2$ de tal manera que $ \Gamma := \left\ { \left. p_1 \mathbf {e}_1 + p_2 \mathbf {e}_2 \right | p_1,p_2 \in \mathbb Z \right\ } $ . Luego $T_ \Gamma = \mathbb R^2 /_ \Gamma $ es el tori plano inducido por $ \Gamma $ .

Consideremos ahora el entramado existente y determinado de forma única $ \Gamma ^*:=\{ \bf {y} \in\mathbb R^n | \langle\bf {x}, \bf {y} \rangle \in\mathbb Z, \forall\bf {x} \in\Gamma\ }$ , $ \Gamma ^*$ se llama la red dual de $ \Gamma $ .

El siguiente teorema es válido:  Que $T_ \Gamma $ ser un toro plano, entonces

• $ \lambda \in \text {spec}(T_ \Gamma )$ si y sólo si hay una $ \bf {x} \in \Gamma ^*$ de tal manera que $ \lambda = \| \bf {x}\|^2 4 \pi ^2$ . -La multiplicidad geométrica $m_ \lambda = \dim (V_ \lambda (T_ \Gamma ))$ es incluso si $ \lambda \neq 0$ y \begin {ecuación*} m_ \lambda = \left | \left\ { \bf {x} \in\Gamma ^* \left |\| \bf {x}\|^2 = \frac { \lambda }{4 \pi ^2} \right.\right\ } \right |. \end {ecuación*}

• Por cada $ \lambda \in \text {spec}(T_ \Gamma )$ el conjunto $$ B_ \lambda := \left\ { f_{ \bf {x}} \left | \bf {x} \in \Gamma ^*, \| \bf {x} \|^2= \frac { \lambda }{4 \pi ^2} \right. \right\ }$$ es una base del eigenspace $V_ \lambda (T_ \Gamma )$ .