Diga $E \subset [0,1]$ es un conjunto nulo. Sea $f: [0,1] \rightarrow [0,1] $ . ¿Cree usted que $f(E)$ ¿es un conjunto nulo o no? Sólo por curiosidad.
(DEF): Un conjunto $A$ es nulo si se le da cualquier $\epsilon > 0$ existe una secuencia de intervalos $\{I_n\}_{n\geq1}$ tal que
$$ A \subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty}I_n$$ y $$ \sum |I_n| < \epsilon $$
si $f$ es continua, es $f(E)$ ¿conjunto nulo o no?
Para tener esa propiedad no basta con ser simplemente continuo como muchos han señalado más arriba. El homeomorfismo de la pendiente de esquí del Diablo de $[0,1]$ a $[0,2]$ mapea el conjunto cantor estándar a un conjunto cantor gordo (de medida $1$ ). Podemos mapear $[0,2]$ volver a $[0,1]$ componiendo con la transformación lineal $\frac{x}{2}$ (que asigna la medida $1$ cantor puesto en $[0,2]$ a un conjunto de medidas $\frac{1}{2}$ en $[0,1]$ ). Así que incluso ser un homeomorfismo no es suficiente. Lo que buscas es que tu función tenga la propiedad Luzin N ( http://en.wikipedia.org/wiki/Luzin_N_property ). Funciones absolutamente continuas, funciones de Lipschitz y $C^{1}$ Los difeomorfismos son tipos de funciones con esta propiedad.
Si no ponemos ninguna condición a $f$ la respuesta es "no necesariamente".
Por ejemplo, el Conjunto Cantor es un conjunto nulo, pero existe un mapeo onto de uno a uno $f$ del conjunto de Cantor al intervalo unitario.
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