Holomorphic extensión perfecto, nada denso conjunto.

Question

Supongamos $f$ es holomorphic y uniformemente acotada por $M$ $\mathbb{C}\setminus E$ donde $E$ es perfecto y nada densa? Puede $f$ ser extendida a una holomorphic de la función en $\mathbb{C}$?

Riemann del teorema extraíbles singularidades vamos a quitar una singularidad $\{a\}$ al mismo tiempo, siempre $f$ es holomorphic y limitado en $\mathbb{C}\setminus\{a\}$. Sospecho que la prueba puede ser hecha a medida, en este caso, ya que los $E$ es denso en ninguna parte, pero me gustaría su ayuda en esto. Además, como es habitual en los casos de "yo quiero hacer algo una cantidad no numerable de veces, pero sólo tiene un método para hacerlo de una vez", parece natural para invocar el Lema de Zorn, así que he intentado:

Deje $\mathfrak{F}$ ser la colección de todos los pares de $\{(F,\Omega)\}$ la satisfacción de:

1. $\Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$.
2. $\mathbb{C}\setminus E\subseteq \Omega$
3. $F: \Omega\to \mathbb{C}$ es uniformemente acotada por $M$ y es holomorphic.
4. $F\mid_{C\setminus E}=f$

Desde $f\in \mathfrak{F}$, es no vacío. Así podemos definir un orden parcial en $\mathfrak{F}$ al declarar que las $(F,\Omega)\le (G,\Omega')$ si:

• $\Omega\subseteq \Omega'$
• $G\mid_{\Omega}=F$

Ahora si $\{(F_{\alpha},\Omega_{\alpha})\}$ es una cadena en la $(\mathfrak{F},\le)$, podemos establecer $O=\bigcup_{\alpha\in A}F_{\alpha}$ $F(x)=f_{\alpha}(x)$ todos los $x\in \Omega_{\alpha}$. Está claro que $O$ está abierto, no cumple $E$, $F$ está bien definido, de manera uniforme delimitada por $M$, e $F\mid_{C\setminus E}=f$. Queda por demostrar que $F$ es holomorphic. Así que aquí está mi pruebe: pick $a\in O$. Encontrar$\epsilon>0$, de modo que $B(a,\epsilon)\subseteq O$$\overline{(B(a,\frac{\epsilon}{2}))}\subseteq O$. Entonces la bola cerrada es compacta y, de ser cubierto por $\{\Omega_{\alpha}\}$, admite un número finito de subcover. Ya que se encuentran en una cadena, existe alguna $\alpha^*$ que $a\in \Omega_{\alpha^*}$. Pero $F=F_{\alpha^*}$$\Omega_{\alpha^*}$, y así tomar la diferencia de cocientes muestra que $F$ es holomorphic en $a$. Por lo $F\in \mathfrak{F}$, y, por tanto, $(F,O)$ es claramente un límite superior (si trabaja todo esto) en la cadena.

Por el Lema de Zorn, existe algún elemento maximal $(\mathcal{F},\mathcal{O})$. Yo reclamo que $\mathcal{O}=\mathbb{C}$. Es claro que debe haber alguna $a\in E$ que $a\not\in E$. Pero ahora vamos a ejecutar a través de la prueba de Riemann Extraíble del Teorema de la Singularidad y encontrar una extensión de $F$ a...¿qué!? $E$ no tiene puntos aislados, así que estoy de suerte. Yo no puede extender $F$ en una manera de contradecir sus maximality.

¿Alguien tiene una idea de como solucionar esto, o hacer esto en general? La pregunta en realidad estoy interesado en saber si uno incorpora el Conjunto de Cantor en $\mathbb{C}$ y se encuentra con un holomorphic función de $F$ que es uniformemente acotada en el complemento del conjunto de Cantor, se puede extender a todos los de $\mathbb{C}$.

Gracias!

Answer 1

Como se ha mencionado por LVK la respuesta, esto está relacionado con los llamados capacidad analítica. Usted está preguntando si perfecto y nada densos conjuntos son desmontables para delimitada holomorphic funciones. Compacto establece que son desmontables para delimitada holomorphic funciones son exactamente las de cero capacidad analítica.

Ahora, para responder a su pregunta, vamos a $E$ ser un subconjunto compacto del plano y supongamos que $E$ está contenida en la recta real $\mathbb{R}$. Un teorema de Pommerenke dice que $E$ es extraíble si y sólo si es unidimensional de la medida de Lebesgue cero.

Por lo tanto, acaba de tomar para $E$ tus favoritos conjunto de Cantor con medida positiva, y será no extraíble. Uno puede incluso dar un ejemplo claro de un almacén de holomorphic de la función en $\mathbb{C} \setminus E$ que no es constante :

Definir $$f(z):= \int_{E} \frac{dt}{z-t}.$$ A continuación, $f$ es holomorphic en $\mathbb{C} \setminus E$. Además, no es constante desde $f(\infty)=0$$\lim_{z \rightarrow \infty} zf(z)= m(E) > 0$. Sin embargo, es fácil mostrar que $\operatorname{Im} f(z)$ está delimitado en $\mathbb{C} \setminus E$. Por lo tanto, $$g(z):= e^{i f(z)}$$ es holomorphic y acotados en $\mathbb{C} \setminus E$, y sin embargo no constante.