Isometría en un espacio métrico compacto

Question

Sea $(M,d)$ sea un espacio métrico compacto y $f: M \rightarrow M$ una función continua. Intento demostrar que si $d(f(x),f(y)) \geq d(x,y)$ para cada $x,y \in M$ entonces $f$ es una isometría. Hasta aquí he podido llegar: Desde $f$ es una función continua, el conjunto $\{(x,y) \in M \times M : d(f(x),f(y)) = d(x,y)\}$ es cerrada y, por tanto, compacta. Por simetría, es de la forma $N \times N$ . Así, $N$ (con la métrica inducida por $M$ ) es un espacio métrico compacto tal que $d(f(x),f(y)) = d(x,y)$ para cada $x,y \in N$ . Ya sé que esto implica que la restricción de $f$ a $N$ es una isometría de $N$ pero ¿cómo demostrar que el conjunto abierto $M \setminus N$ ¿está vacío?

Answer 1

Perdón por resucitar un hilo tan viejo, pero tengo una prueba usando $\epsilon$ -redes que es diferente de la vinculada anteriormente. (Editar: la solución "vinculado anteriormente" se ha eliminado, por lo que para la referencia: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=123891#p123891 .) Tenga en cuenta que no estamos suponiendo $f$ sea continua como un hecho.

Lema 1. Sea $\epsilon > 0$ . Entonces existe $n_\epsilon < \infty$ tal que dado cualquier conjunto de $n_\epsilon$ puntos distintos en $M$ dos de ellos se encuentran a una distancia inferior a $\epsilon$ aparte.

Prueba. Toma $n_\epsilon - 1$ sea el tamaño de un $\epsilon/10$ red para $M$ entonces dado cualquier $n_\epsilon$ puntos distintos, dos están a una distancia $\epsilon/10$ de uno de los puntos elegidos para definir el $\epsilon/10$ red, por lo tanto, distancia como máximo $\epsilon/5$ aparte. $\square$

Corolario 1. Para cualquier $\epsilon > 0$ hay un número $N_\epsilon$ tal que

1. Existen puntos $p_1, \dots, p_{N_\epsilon} \in M$ tal que $d(p_i, p_j) \ge \epsilon$ para todos $1 \le i < j \le N_\epsilon$ .
2. Dado cualquier $N_\epsilon + 1$ puntos en $M$ debe haber dos de distancia inferior a $\epsilon$ aparte.
3. En $q_1, \dots, q_{N_\epsilon} \in M$ tienen todas las distancias entre pares al menos $\epsilon$ forman un $\epsilon$ -red.

Prueba. Toma $N_\epsilon$ es la cardinalidad máxima de un $\epsilon$ -red para $X$ . Tal número debe existir por el lema, y las propiedades (1)-(3) son inmediatas. $\square$

Lema 2. Sea $Y$ sea el conjunto de $N_\epsilon$ -tuplas en $M$ cuyas entradas forman $\epsilon$ -redes para $M$ . Entonces $Y$ es compacto.

Prueba. Obsérvese la métrica en $M^{N_\epsilon}$ es $$d((p_1, \dots, p_{N_\epsilon}), (q_1, \dots, q_{N_\epsilon})) = \max_{1 \le i \le N_\epsilon} d(p_i, q_i).$$ Un producto de dos espacios métricos compactos es compacto, y así por inducción sobre el número de espacios, cualquier producto finito de espacios métricos es compacto, y así por inducción sobre el número de espacios, cualquier producto finito de espacios métricos es compacto. Por tanto, $M^{N_\epsilon}$ es compacto.

Para terminar el lema, sólo necesitamos mostrar $Y$ está cerrado en $M^{N_\epsilon}$ . Para $1 \le i < j \le N_\epsilon$ , dejemos que $f_{ij}(p_1, \dots, p_{N_\epsilon}) = d(p_i, p_j)$ . Entonces $f_{ij}$ es continua. Dado que $$Y = \bigcap_{1 \le i < j \le N_\epsilon} f_{ij}^{-1}([\epsilon, \infty))$$ por (3) en el corolario, $Y$ es una intersección de subconjuntos cerrados de $M$ . Así $Y$ es compacto. $\square$

Corolario 2. $$\sum_{i=1}^{N_\epsilon - 1} \sum_{j = i+1}^{N_\epsilon} d(x_i, x_j)$$ alcanza su valor máximo en $Y$ . Si $(p_1, \dots, p_{N_\epsilon})$ es un punto en el que se alcanza este máximo, entonces para $1 \le i,\, j \le N_\epsilon$ , $d(f(p_i) f(p_j)) = d(p_i, p_j)$ .

Prueba. La primera afirmación se deduce de la compacidad. Para la segunda, se nos da que $d(p_i, p_j) \le d(f(p_i), f(p_j))$ y si la igualdad no se mantiene para todos $i$ , $j$ tendríamos $d(f(p_i), f(p_j)) \ge \epsilon$ para $i \neq j$ Así que $(f(p_1), \dots, f(p_{N_\epsilon})) \in Y$ pero $$\sum_{i=1}^{N_\epsilon - 1} \sum_{j=i+1}^{N_\epsilon} d(f(p_i), f(p_j)) > \sum_{i=1}^{N_\epsilon -1} \sum_{j=i+1}^{N_\epsilon} d(p_i, p_j).$$ Esto contradice $(p_1, \dots, p_{N_\epsilon})$ siendo un maximizador. $\square$

Pasemos ahora a la demostración del resultado original. De lo anterior se deduce que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe un ${1\over{n}}$ red que $f$ mapea isométricamente en $M$ . Sea $x,\, y \in M$ . Para todos $n \in \mathbb{N}$ Elige $x_n,\,y_n$ tal que $d(x, x_n) < {1\over{n}}$ y $d(y, y_n) < {1\over{n}}$ y tal que $x_n,\,y_n$ están en un ${1\over{n}}$ red con isométrica $f$ -imagen. A continuación, $$d(f(x), f(y)) = \lim_{n\to\infty} d(f(x_n), f(y_n)) = \lim_{n \to \infty} d(x_n, y_n) = d(x, y).$$