Tensor producto de módulos simples

Question

Deje que $M$ un módulo simple derecho y $N$ ser un módulo simple de la izquierda sobre un anillo $R$ . Mis preguntas son:

¿Cómo podemos describir $M \otimes_R N$ explícitamente? Bueno, supongo que es un cociente de $R$ ...por la suma de un ideal izquierdo y uno derecho, pero parece de alguna manera insatisfactorio...

Es $N$ de tal manera que $M \otimes_R N \neq 0$ determinado únicamente por $M$ hasta el isomorfismo? Si no, ¿podemos clasificar tales $N$ es de una manera razonable?

Generalmente, busco una especie de lema de Schur, con $ \mathrm {Hom}_R (M,N)$ reemplazado por $M \otimes_R N$ ...

Answer 1

Aquí hay algunas cosas que probablemente sepas, pero sólo para decir algo..:

Supongamos que $R$ es un $k$ -algebra para un campo $k$ y que $M$ es de dimensiones finitas sobre $k$ . Luego $M$ es tan simple como un derecho $R$ -módulo si y sólo si si $Hom_k(M,k)$ (con la transposición $R$ -acción) es tan simple como una izquierda $R$ -módulo. Luego $M \otimes_k N$ es un $k$ -espacio vectorial, y como es el receptor universal de un $R$ -bilineal de la pareja de $M \times N$ no es cero si y sólo si hay un $R$ -pareja lineal $M \times N \to k$ si y sólo si hay un no-cero $R$ -módulo de homomorfismo $N \to Hom_k(M,k)$ . Si $N$ es simple, tal homomorfismo no cero tiene que ser un isomorfismo, y así vemos que $M \otimes N \neq 0$ por simple $M$ y $N$ si y sólo si $N = Hom_k(M,k)$ .

Por supuesto, mis suposiciones implican que $M \otimes_R N = Hom_R(Hom_k(M,k),N),$ y así esto se reduce al caso de "Hom" que está motivando toda su pregunta.

Pero tal vez sugiere una forma de pensar que podría funcionar en una forma más general (tratando de reemplazar $k$ por algún tipo de cociente "mínimo" de $M \otimes_R N$ ). En realidad, no he conseguido decir nada más general, aunque...