¿Por qué es $\ln(x^x)=x\ln(x)$ válido?

Question

Sé que $\ln(x^k)=k\ln(x)$ para cualquier constante $k$, pero ¿por qué es $\ln(x^x)=x\ln(x)$. El exponente $x$ no es constante.

Answer 1

Como $x$ probablemente no es un entero, $x^x$ se define como : $$x^x = e^{x\ln(x)}$$

Por lo tanto, tomando el logaritmo dará $\ln{x^x}=x\ln(x)$

Answer 2

La regla general para los logaritmos es $\log(a^b)=b\log(a)$ para cualquiera de los números reales $a$ $b$ (como $a$ es positivo). En particular, se tiene al $a=b=x$ (suponiendo que, de nuevo, que $x$ es positivo).

Answer 3

Para todos $y > 0$, $\ln y$ es, por definición, el poder que $e$ debe ser levantado para dar el valor de $y$. Así,

\begin{equation} e^{\ln y} = y. \end{equation}

En particular, esto es cierto para cualquier $x$ tal que $x^x > 0$. Así que sustituyendo $x^x$$y$,

\begin{equation} e^{\ln x^x} = x^x. \end{equation}

Pero también tenemos desde el exponente de las leyes y la definición de $\ln$ que,

\begin{equation} e^{x \ln x} = (e^{\ln x})^x = x^x \end{equation}

La comparación de los laterales izquierdo y derecho de las dos ecuaciones de arriba se deduce que $\ln x^x = x \ln x$.

Answer 4

Para cualquier número real positivo $x$, $x\ln x = \ln (x^x)$. Esta es una declaración acerca de muchos "constantes" $x$. Esto significa $3\ln 3 = \ln (3^3)$, $4\ln 4 = \ln (4^4)$, etc. La única diferencia entre este y $k\ln x = \ln (x^k)$ es el último que se le permite tener $k$ ser diferente de $x$.

Answer 5

otra forma de pensar acerca de él, por real positivo $x,y$:

$$ \ln y = \log_x y \cdot \ln x \etiqueta{1} $$ y, de nuevo, por definición, $$ \log_x x^x= x $$