Ecuación con valores absolutos y parámetros

Question

En mi libro de texto hay una afirmación que para un número entero positivo fijo $a$ hay a lo sumo un número entero positivo $b$ tal que: $|b-1|+|b-2|+\cdots+|b-2001|=a(a+1)$ . Afirman que es obvio pero para mí no lo es. ¿Puede alguien explicar por qué es cierto?

Answer 1

El lado derecho de la ecuación es igual a $\sum\limits_{k=1}^a 2k$ (a partir de la fórmula de la suma del primer $a$ números naturales. El lado izquierdo, $|b-1|+|b-2|+\dots+|b-2001|$ puede, si $0<b<2001$ se puede escribir como $\sum\limits_{k=1}^{b-1} k + \sum\limits_{k=1}^{2001-b} k$ . Trata de entenderlo desde aquí.

Si $a=b=1001$ entonces la igualdad es verdadera.

Answer 2

Si $b \le 2001$ la suma

$\displaystyle \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{2001}|b - k| = \sum\limits_{k=1}^{b}|b-k| + \sum\limits_{k=1+b}^{2001}|b-k| &= \frac{b^2-b}{2}+\frac{(2001-b)^2+(2001-b)}{2} \\ &= b^2 - 2002b + 2001\times 1001 \\ &= (b-1001)^2+1001000\end{align}$

La ecuación cuadrática $a^2+a = (b-1001)^2+1000^2 + 1000$ Una solución obvia es $b=1001$ entonces $a = 1000$ .

Para $a$ para ser un número entero positivo el discriminante de la ecuación cuadrática tiene que ser cuadrado perfecto.

Eso es, $1+4((b-1001)^2 + 1001000) = \Delta^2 \in \mathbb{Z}$ .

$\implies 2001^2 + 4(b-1001)^2 = \Delta^2$

Recordemos que los triples pitagóricos son de la forma $(m^2-n^2)^2 + 4m^2n^2 = (m^2+n^2)^2$

Lo que significa $(m-n)(m+n) = m^2-n^2 = 2001 = 3 \times 667 = 2001 \times 1$

Así, las soluciones para $(m,n) = (335,332)$ y $(1001,1000)$

Además, debemos tener $(b-1001)^2 = m^2n^2$ para cualquiera de los valores del par $(m,n)$ El valor de $mn > 1001$ que garantiza la solución única del par $(a.b) = (1000,1001)$ .

Si $b > 2001$ la suma es igual a $2001b - 2001\times 1001 = 2001(b-1001) = a(a+1)$

$\implies (b-1001) \times 2001 = a(a+1)$

Donde, las soluciones obvias son $(a,b) = (2000,3001)$ y $(2001,3003)$ .

Así que supongo que el conjunto de soluciones no es único después de todo.