No convencionales (pero instructivo) las pruebas de los teoremas fundamentales del cálculo

Question

Inspirado por esta preguntas sobre MathOverflow, me gustaría preguntarle si usted sabe algunos de los "sofisticados" pruebas de los teoremas fundamentales en un curso de cálculo (es decir, los que usted puede encontrar, por ejemplo, en Spivak del Cálculo).

En este caso, por "sofisticado", no me refiero a la muy complicado, pero inesperado, extremadamente inteligente y no convencionales (y esperemos que instructivo), ya sea porque utilizan conceptos de otras áreas de las matemáticas, o porque se ilumine un teorema por abordar desde un no-obvia y no estándar(izada) perspectiva.

Answer 1

Siempre me encanta probar que:

Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es un almacén real de la secuencia, se tiene una convergencia de larga.

con el Erdos-Skeres', o de Dilworth, teorema:

(Erdos-Szekeres, finito versión) Cada secuencia con $n^2+1$ términos admite una débil monótona larga con $n+1$ términos.

(Dilworth, infinito versión) Cada infinita POset contiene una cadena infinita o antichain.

Para demostrar Erdos-Szekeres, enviamos $n^2+1$ a las personas a una oficina de correos con $n$ empleados $n$ colas. Cuando una persona llega, se lleva a cabo en la primera cola que él es más alto que la última persona en la cola. Si en algún momento alguien ($A$) no es capaz de tomar su lugar, entonces la gente en la última posición de cada cola y $A$ dar una disminución de la secuencia. Por otro lado, si todo el mundo es capaz de tomar su lugar, hay una cola con al menos $n+1$ personas en él, dando un aumento de la secuencia.

Por lo que podemos utilizar Erdos-Szekeres' o Dilworth del teorema para extraer un (débilmente) monótona y acotada larga de $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Tal subsequence es claramente la convergencia a la su $\sup$ o $\inf$, y hemos terminado.

Answer 2

Creo que el ejemplo clásico de esto es el todo del campo de la no-estándar de análisis. Tardó 300 años para hacer de infinitesimals riguroso, lo que finalmente se dio en la década de 1960), pero una vez equipado con un kit de herramientas que se pueden derivar todas las funciones básicas de cálculo de los resultados (y mucho más) en tan sólo un par de líneas de infinitesimal álgebra.

Answer 3

Es interesante tratar de demostrar los resultados básicos sobre el uso de derivados sin utilizar el valor medio teorema.

Véase, por ejemplo, la anterior MO la discusión sobre el papel de la MVT en el primer año de cálculo, un post que hice en el Expii "Significa Teorema del Valor" de la página, y (también en Expii) un MVT-libre de la prueba (inspirada en la prueba (por ejemplo, dado en Stein & Shakarchi) de Cauchy/Goursat de análisis complejo, a raíz de un post en el blog de Gowers) el hecho de que $f'=0$ en un intervalo implica $f$ es una constante.

Answer 4

Aquí es un poco convencional pero instructivo de la prueba de la extrema teorema del valor de una función continua $f$ en el intervalo de $[0,1]$. Deje $H$ (gasp) un infinito hypernatural. La partición del intervalo en $H$ subintervalos iguales, cada uno de longitud infinitesimal. Entre la partición de los puntos de $p_i$, elija el que más, decir $p_{i_0}$, con el valor máximo de $f$. Ahora redondear $p_{i_0}$ más cercana a la real número $c$, por lo que el $p_{i_0}$ es infinitamente cercana a $c\in\mathbb{R}$. A continuación, $c$ se requiere un máximo de $f$. Esto es debido a que, por definición, de la continuidad de la función compuesta $\text{st}\circ f$ es constante en el halo de $c$, donde "st" es el estándar de la función de la pieza.