¿Por qué es la topología en $\operatorname{Proj} B$ inducida a partir de que en $\operatorname{Spec}(B)?$

Question

En la prueba del Lema $3.36$ en la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, se afirma que, si $B=\oplus_{d\ge0}B_d$ es graduado de álgebra sobre un anillo de $A,$ e si $I$ es un ideal de a $B,$ $$V(I)\cap\operatorname{Proj}(B)=V_+(I^h),$$ where $I^h=\oplus_{d\ge0}I\cap B_d$ is the homogenized ideal of $I,$ thus the topology on $\operatorname{Value} B$ is induced from that on $\operatorname{Spec}(B).$ La contención en el lado izquierdo en el derecho de ser claro, no veo por qué esto es una igualdad.

No tengo idea de cómo puede uno estar seguro de que un alojamiento ideal en $\operatorname{Proj}B$ contiene $I$ fib contiene $I^h.$
Cualquier sugerencia o referencia es bien acogido.

Edit: pensé que esto de la igualdad de $$\sqrt I=\sqrt{I^h},$$ lo cual es falso, gracias a un comentario de @user121097.
He cambiado la pregunta de acuerdo con el citado comentario, lo siento por esto.

P. S.: El título no coincide con la pregunta exactamente. Disculpa de nuevo.

Answer 1

$$V(I)\cap\operatorname{Proj}(B)=V_+(I^h)$$

Esto es falso. Considere la posibilidad de $I=(X+1)$$B=K[X,Y]$. A continuación,$I^h=(0)$, lo $V_+(I^h)=\operatorname{Proj}B$. En el otro lado, tenemos a $V(I)\cap\operatorname{Proj}B=\emptyset$.

Answer 2

Por lo que es más importante, si $f \in S$, escribir $f = f_{0} + f_{1} + \cdots + f_{n}$. Dado $\mathfrak{p} \in \text{Proj}S$, $\mathfrak{p} \ni f$ si y sólo si $\mathfrak{p} \ni f_{0}, \cdots, f_{n}$. Por lo tanto $V(f) \cap \text{Proj}S = V_{+}(f_{0}) \cap \cdots \cap V_{+}(f_{n})$, y la topología es hereditario!

Answer 3

Edit: Como se señaló en los comentarios de abajo, yo no era la correcta utilización de la definición de $I^h$. Recuerdo que trabajo con esta construcción hace algún tiempo: en realidad, es el más grande homogénea ideal contenido en $I$. Un hecho interesante que puede ser útil es que, si $P$ es el primer en $B$, $P^h$ es homogénea primer ideal. Si la solución a la pregunta viene a mí, yo, por supuesto saber.

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De edad, respuesta incorrecta:

Esto está claro, una vez te das cuenta de que $I^h$ es el más pequeño homogénea ideal que contiene a $I$. Por lo tanto si $P$ es homogénea ideal, a continuación, $I \subseteq P \iff I^h \subseteq P$ (a la inversa implicación siguiente de $I \subseteq I^h$). En mi opinión, la igualdad sigue fácilmente de esta.

Para muestra explícitamente que $V_+(I^h) \subseteq V(I)\cap\operatorname{Proj}(B)$ como quieras, supongamos que $P \in \operatorname{Proj}(B)$$I^h \subseteq P$. A continuación,$I \subseteq I^h \subseteq P$, lo $P \in V(I) \cap \operatorname{Proj}(B)$.