Ser ningún número real que satisface $x^{2} = -1$

Question

Me encontré con una búsqueda, pero, por extraño que parezca, yo no puedo encontrar a una pregunta similar aquí. (Si es así, amablemente me apunte en esa dirección, y voy a tomar esta abajo.) Parece una pregunta bastante básica en el análisis real, pero yo estoy luchando para venir para arriba con una adecuada prueba de que ningún número real que satisface $x^{2} = -1$. Supongo que es una prueba por contradicción, pero es solo que no estoy viendo.

Answer 1

Asumir que hay en realidad es un número real satisfacer $x^2=-1$. Desde $0^2=0$, se deduce que el $x \neq 0$. Suponga $x > 0$. De $$x \cdot x= x^2 =-1$$ Obtenemos (Dividiendo por $x$): $$0<x=-\frac{1}{x}<0$$ Contradicción.
Suponga $x < 0$. De nuevo se obtiene: $$0>x=-\frac{1}{x}>0$$
Contradicción.

La conclusión (La única cosa que haría que el anterior implicación ser verdad como un todo) es que no existe un número real $x$ que $x^2=-1$.

Answer 2

Se puede demostrar:

La proposición $(-1)(-1)=1$

La proposición Si $\ a<0\ $ $\ a=(-1)|a|$

Suponiendo que estos, si $a\ge 0$, entonces es claro $a^2\ge 0$. Si $a<0$

$$a^2=a\cdot a = (-1)|a|\cdot (-1)|a| = (-1)(-1)|a|^2 = |a|^2 > 0$$

Answer 3

He aquí una prueba de que los usos de cálculo.

Nos muestran la función de $f(x) = x^2 + 1$ no tiene raíces reales. Su derivada es $f'(x) = 2x$, por lo que su único punto crítico se produce cuando $x=0$. Desde $f''(x) = 2$, por la segunda derivada de la prueba, $x=0$ es un mínimo global. Desde $f(0) = 1$, para todos los $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geq 1 > 0$, por lo que ningún número real que satisface $f(x) = 0$.

Answer 4

Si es posible, supongamos que existe un número real distinto de cero, decir $r$, $r^2=-1$

Ahora si $r>0$ $-1=r^2>0$ (desde multiplicando ambos lados por $r$ no cambia la desigualdad), que es una contradicción, y si $r<0$ luego multiplicar por un número negativo revertir la desigualdad y, como en el primer caso, usted recibirá una contradicción.

Answer 5

Prueba directa:

Suponga $z \in \mathbb{C}$ obedece a $z^2=-1$. Así: $$z(z-\overline{z})=z^2-z \overline{z}=-1-|z|^2 \neq 0 \implies z-\overline{z} \neq 0 \iff \Im{(z)} = \frac{z-\overline{z}}{2i} \neq 0 \iff z \notin \mathbb{R}$$