Diferencial de 1-formas son el doble de campos vectoriales sobre un colector.
Por lo tanto, si usted está interesado en campos vectoriales, usted debe también estar interesados en su `imagen en el espejo," formas diferenciales.
Una buena intuición con respecto a su multiplicación es que $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$ es una orientada al área.
Por lo tanto, $\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x = -\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$ ya que su orientación es opuesta a la de $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$.
El exterior de derivados unifica y se generaliza la pendiente, curvatura, de la divergencia, y Laplaciano.
Algunos casos especiales de la nilpotency de $\mathrm{d}$ (es decir, $\mathrm{d}^2 = 0$)$\nabla\cdot\nabla\times{\bf F} = 0$$\nabla\times\nabla f = 0$.
En términos de integración, notó por primera vez que el volumen se transforma de la manera correcta bajo transformaciones de coordenadas,
$$\begin{eqnarray}
\omega &=& h(p) \mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^n \\
&=& h(p) \frac{\partial x^1}{\partial y^{\mu_1}} \mathrm{d}x^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge
\frac{\partial x^n}{\partial y^{\mu_n}} \mathrm{d}x^{\mu_n} \\
&=& h(p) \det\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\nu}\right) \mathrm{d}y^1\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}y^n,
\end{eqnarray}$$
donde $h(p)$ es positiva definida y $\det\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\nu}\right)$ es el Jacobiano de la transformación de coordenadas.
También `sabe" acerca de la orientability del espacio.
De hecho, un espacio es orientable si y sólo si tiene una forma de volumen.
Con formas diferenciales, muchos de los importantes resultados de cálculo multivariable se pueden unificar en una única fórmula, Stokes teorema:
$$\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega.$$
Por ejemplo, algunos casos especiales de Stokes teorema son el rizo y los teoremas de la divergencia en el espacio de 3 dimensiones:
$$\begin{eqnarray}
\int_S \nabla\times {\bf F}\cdot d{\bf S} &=& \oint_{\partial S} {\bf F}\cdot d{\bf r} \\
\int_V \nabla\cdot {\bf F} dV &=& \oint_{\partial V} {\bf F}\cdot d {\bf S}
\end{eqnarray}$$
Por supuesto, Stokes teorema también se generaliza estos teoremas a dimensiones superiores.
La utilidad de formas diferenciales se extiende mucho más allá de este.
Por ejemplo, de Rham cohomology depende fundamentalmente de formas diferenciales y puede ser utilizado para clasificar a los espacios topológicos.
