Se muestra el uso de la distribución de Poisson que
$$\lim_{n \to +\infty} e^{-n} \sum_{k=1}^{n}\frac{n^k}{k!} = \frac {1}{2}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por la definición de la distribución de Poisson, si en un intervalo de tiempo dado, el número esperado de ocurrencias de algún evento, es $\lambda$, la probabilidad de que haya exactamente $k$ de esos eventos es $$ \frac {\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. $$ Deje $\lambda = n$. Entonces la probabilidad de que la variable de Poisson $X_n$ con el parámetro $\lambda$ toma un valor entre el $0$ $n$ es $$ \mathbb P(X_n \le n) = e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}. $$ Si $Y_i \sim \mathrm{Poi}(1)$ y las variables aleatorias $Y_i$ son independientes, entonces la $\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{Poi}(n) \sim X_n$, por lo tanto la probabilidad de que estamos buscando es en realidad $$ \mathbb P\left( \frac{Y_1 + \dots + Y_n - n}{\sqrt n} \le 0 \right) = \mathbb P( Y_1 + \dots + Y_n \le n) = \mathbb P(X_n \le n). $$ Por el teorema del límite central, la variable $\frac {Y_1 + \dots + Y_n - n}{\sqrt n}$ converge en distribución hacia la distribución Gaussiana $\mathscr N(0, 1)$. El punto es, ya que la de Gauss tiene una media $0$ y quiero saber cuando es menor igual a $0$, la varianza no importa, el resultado es $\frac 12$. Por lo tanto, $$ \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} = \lim_{n \to \infty} \mathbb P(X_n \le n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb P \left( \frac{Y_1 + \dots + Y_n - n}{\sqrt n} \le 0 \right) = \mathbb P(\mathscr N(0, 1) \le 0) = \frac 12. $$
Espero que ayude,
