La desigualdad de $(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\geq 2n^2.$

Question

Deje $n\geq 2$, e $x_1,x_2,\ldots,x_n>0$. Mostrar que $$(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\geq 2n^2.$$

Para $n=2$, esto se reduce a $(1+x_1)(1+x_2)(x_1+x_2)\geq 8x_1x_2$. Podemos aplicar la media Aritmética-media Geométrica de la desigualdad en cada uno de los término de la izquierda para obtener el resultado.

Sin embargo, cuando se $n\geq 3$, esto no funciona.

[Fuente: ucraniano competencia problema]

Answer 1

La aplicación de AM-GM a $\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}$ rendimientos $$ \frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}\geq n\frac{1}{\sqrt[n]{x_1,\cdots x_n}}. $$ A continuación, aplique AM-GM de nuevo a cada uno de los $(1+x_i)$ plazo: $$ 1+x_i=\frac{1}{n-1}+\cdots+\frac{1}{n-1}+x_i\geq n\sqrt[n]{\frac{x_i}{(n-1)^{n-1}}}. $$ Poner los resultados anteriores juntos, se nota que es suficiente para demostrar la siguiente desigualdad $$ \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}\geq 2n^2\ffi\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\geq 2\ffi\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\geq 2. $$ Pero la última desigualdad anterior es sólo la de Bernoulli de la desigualdad. El reclamo de la siguiente manera.

Answer 2

Sólo otra manera: $$\begin{align} \left(\prod_{k=1}^n(1+x_k) \right) \left(\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\right) &= \left(\prod_{k=1}^n \left(\underbrace{\frac1{n-1}+\frac1{n-1}+\cdots+\frac1{n-1}}_{n-1 \text{ times}}+x_k \right) \right) \left(\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\right) \\ &\ge \left(\frac1{\sqrt[n+1]{(n-1)^{n-1}}}+\frac1{\sqrt[n+1]{(n-1)^{n-1}}}+\cdots+\frac1{\sqrt[n+1]{(n-1)^{n-1}}} \right)^{n+1} \\ &= \left(\frac{n}{\sqrt[n+1]{(n-1)^{n-1}}} \right)^{n+1} = \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}} \end{align}$$

donde la desigualdad utilizada es la del Titular. Por lo que es suficiente para mostrar que $$n^{n-1}\ge 2(n-1)^{n-1} \iff \left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1} \ge 2$$ que se sigue de la desigualdad de Bernoulli para $n\ge 2$.