Riemann teorema de reordenamiento

Question

La definición de la integral de reordenamiento del teorema establece que si $\sum\limits_{n=0} ^{+ \infty} a_n$ es condicionalmente convergente y $M \in \mathbb{R}$ entonces existe una permutación $ \sigma (n) $ tal que $\sum\limits_{n=0}^{+ \infty} a_{\sigma(n)} \ =M$.

Podría usted decirme cómo utilizar esto para probar una afirmación más general?

Que si tenemos $\sum\limits_{n=0} ^{+ \infty} c_n$ - condicionalmente convergente la serie de los números complejos, entonces existe una línea de $l$ sobre el plano de tal manera que cada punto de esta línea puede ser un límite de la serie.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Una compleja serie converge si y sólo si las partes real e imaginaria convergen, y un idénticas declaraciones sostiene al tomar valores absolutos. Entonces si $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ es convergente, por lo que se $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ donde $c_{n} = a_{n} + ib_{n}$. Si $\sum_{n=1}^{\infty} |c_{n}|$ diverge, al menos uno de $\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$ $\sum_{n=1}^{\infty} |b_{n}|$ diverge, y supongamos, sin pérdida de generalidad que sólo uno converge, y que es el primero. A continuación, se puede forzar a la parte real de nuestra serie, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ a converger a lo que queramos por el original de Riemann Reordenamiento del Teorema. Si $\sum_{n=1}^{\infty} |b_{n}|$ converge, nos podría ser pegado con una suma fija por la parte compleja, pero todavía podemos golpear la totalidad de la línea horizontal a través de $i\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$.

Si tanto los reales y complejas piezas son condicionalmente convergente, toda la situación se vuelve más complicada...