Se $\mathrm{arccot}(x)$ $\arctan(1/x)$ la misma función?

Question

En mi libro de texto que me pide:

Demostrar que no es constante $C$ tal que $\text{arccot}(x) - \text{arctan}(\frac{1}{x}) = C $ todos los $x \ne 0$. Explique por qué esto no viola el cero de la derivada teorema.

Pero creo que he encontrado una $C$, es decir,$C =0$! Incluso me preguntó WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccot%28x%29+-+arctg%281%2Fx%29) lo que corrobora mi respuesta.

Esta pregunta aparece en el Apostol de Cálculo del Volumen I, Segunda Edición: Exersize 6.22-11b

Edit: Mathematica definición de arccot es diferente de la que en mi libro de texto. Apostol del arccot asigna un número real en $(0, \pi)$, mientras que Mathematica asigna un número real en $(-\pi/2, \pi/2)$ Aquí son super-impuesto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%28-1%2F%281%2Bx%5E2%29%29+%2B+pi%2F2%3B+arccot

Answer 1

Así que vamos a tomar su libro de texto de la definición: $$ \mbox{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x). $$

Entonces $$ \lim_{0^+} \mbox{arccot} (x)=\frac{\pi}{2}=\lim_{0^+} \arctan(1/x) $$ mientras $$ \lim_{0^-} \mbox{arccot} (x)=\frac{\pi}{2}=-\lim_{0^-} \arctan(1/x). $$ Desde su derivada es $0$$\mathbb{R}^*$, $$ \mbox{arccot}(x)-\arctan(1/x)=0 $$ para todos los $x>0$, mientras que $$ \mbox{arccot}(x)-\arctan(1/x)=\pi $$ para todos los $x<0$.

Esto no se contradice con el cero de la derivada teorema debido a que la función no está definida en $0$, por lo que su dominio no está conectado.

Answer 2

Esto no es una rigurosa prueba, es intuitivo.

Deje $y = \arctan\left(\dfrac1x\right)$ $$ \begin{align} \tan(y) &= \frac1x\\ \frac1{\tan(y)} &= x\\ \cot(y) &= x\\ y &= \text{arccot}(x)\\ \arctan\left(\frac1x\right) &= \text{arccot}(x)\\ \arctan\left(\frac1x\right) - \text{arccot}(x)&=0. \end{align} $$

Que tiene de $x \neq 0, \ x\in\mathbb{R}$.