Suma sobre todos los que no son malos números

Question

Yo estoy trabajando en el siguiente concurso problema de matemáticas:

Definir un mal número para ser cualquier número entero positivo que contiene el dígito $9$. Mostrar que

$$ \sum_{x} \frac{1}{x} < 80 $$

donde la suma es sobre todos, no mal enteros positivos $x$.

Estoy muy confundido sobre por dónde empezar. Al principio, traté de considerar esta suma como parte de la suma de $1/x$ sobre todos los enteros positivos, es decir, señalando que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \sum_{x} \frac{1}{x} + \sum_{y} \frac{1}{y} $$

donde la primera suma en el lado derecho es el mismo que en el enunciado del problema y el segundo es la suma sobre todos los males de los números. Sin embargo, me parece que no puede encontrar una manera de utilizar este ya que la suma de la izquierda se aparta.

Podría alguien echar una mano?

Answer 1

Hay $8\cdot9^{k-1}$ $k$ números de un dígito sin un $9$. Incluso si tomamos $8\cdot9^{k-1}$ veces el recíproco de la menor $k$ número de un dígito, se obtiene la sobreestimar $$ \begin{align} \sum_{j=10^{k-1}}^{10^{k-1}+8\cdot9^{k-1}-1}\frac1j &\le8\left(\frac9{10}\right)^{k-1} \end{align} $$ Añadir estos para $k\ge1$, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty8\left(\frac9{10}\right)^{k-1} &=8\frac1{1-\frac9{10}}\\ &=80 \end{align} $$