Si $\forall x \in R, x^2-x \in Z(G)$, $R$ es conmutativa

Question

Deje $R$ ser un anillo tal que para cada a $x\in R$ tenemos $x^2-x \in Z(G)$. Mostrar que $R$ es un anillo conmutativo.

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Mis pensamientos

¿Qué debo hacer? Yo podría mostrar que todos los $y \in R$ podría ser escrita en la forma $x^2-x$ pero no sé si eso es cierto. Sabemos que $y \cdot(x^2-x) \ = \ (x^2-x)\cdot y$ cualquier $x,y \in R$, pero eso no significa que $xy = yx$. Por favor, dame un toque

Answer 1

Una posible sugerencia: Trabajo en $$(x+y)^2-(x+y).$$ to show that $xy+yx\Z(R)$ could pave our way to solution. Indeed, when $xy+yx\Z(R)$ then $$(xy+yx)y=y(xy+yx)\to xy^2=y^2x.$$ Now since $y^2-y\Z(R)$ so $$y^2x-yx=xy^2-xy$$

Answer 2

Supongamos que $R$$1$.

Entonces, para cualquier $x \in R$,

$(1+x)^2-(1+x) \in Z(R)$, lo que muestra: $(1+x^2+2x)-(1+x) \in Z(R)$, lo que implica que $x^2+x$ $Z(R)$ todos los $x \in R$. Por eso,$(x^2+x)-(x^2-x) \in Z(R)$, lo que implica $2x \in R$ todos los $x \in R$. Esto implica $R$ es conmutativa.