La prueba de la existencia de un no-disminución de la secuencia

Question

Si $\{a_{n}\}$ es una secuencia de números positivos, de modo que $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ converge. ¿Cómo podemos demostrar que existe una no disminución de la secuencia $\{b_{n}\}$, de modo que $\lim_{n\to \infty}b_{n}=\infty$ y $\sum_{n}^{\infty}a_{n}b_{n}$<$\infty$.

Answer 1

$\{b_n\}$ modifica los términos de la secuencia. El truco es modificar los trozos de la suma en términos de otra secuencia convergente. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ es convergente, por lo que nuestro objetivo para este.

Como $\sum_{i=0}^{\infty}a_i$ es convergente, hay un $k_n$ todos los $n$ tal que $\sum_{i=k_n}^{\infty}a_i<\frac{1}{(n)(n^2)}$. A continuación, establezca $b_i=n$ $i=k_n$ $i=k_{n+1}-1$ $n\geq1$ $b_i=0$lo contrario.

A continuación,$\sum_{i=k_n}^{k_{n+1}-1}a_ib_i<\frac{1}{n^2}$$n \geq 1$. Sumando todos estos trozos da una secuencia convergente. Y $b_n$ tiende a $\infty$ como se requiere.

Answer 2

Si $\sum_{n}^{\infty} a_n$ converge entonces (creo) se puede demostrar que los $\limsup|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = p$ donde $0 < p <= 1$. Si esto es cierto, entonces usted necesita para encontrar una secuencia $b_n$ que tiende muy lentamente hasta el infinito - tan lentamente que la $\sum_{n}^{\infty} a_nb_n$ converge. Encontrar un determinado $b_n$ en términos de $p$ no debería ser tan difícil.

Por ejemplo, en el caso de que 0 < p < 1, puede dejar que b_n = (1-p)(a_n).

Asaf se ha demostrado que el caso donde p = 1 es más complicado, así que vamos a ver si podemos avanzar... incluso si no podemos todavía instructivo para pensar acerca de este método

Answer 3

Corregidos algunos $\alpha\in(0,1)$, vamos a $\displaystyle R_n=\sum_{k=n}^\infty a_k,\;\; b_n=\frac{1}{R_n^\alpha}$. Es fácil ver que $b_n$ es no decreciente con $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$. Tenemos

$\displaystyle a_nb_n=\frac{R_n-R_{n+1}}{R_n^\alpha}<\int_{R_{n+1}}^{R_n}\frac{1}{x^\alpha}dx=\frac{R_{n}^{1-\alpha}-R_{n+1}^{1-\alpha}}{1-\alpha}$

Por lo tanto, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nb_n <\frac{R_1^{1-\alpha}}{1-\alpha}=\frac{S^{1-\alpha}}{1-\alpha}<\infty$

Answer 4

$$ {a_n} = \frac{1}{ a^{3n }} $$

$${b_n} = a^{n} $$

para $ a>1 $, creo satisfacer sus necesidades.

más explicación : con el fin de garantizar la $ \sum_{n}^{\infty} a_n$a converger,

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < p $$ for some $ 0<p<1 $

encontrar $ b$ que

$$ 1< \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} < \frac{1}{ p} $$

por lo$ \sum_{n}^{\infty} b_n$ nos alejara mientras no decreciente, y

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{b_{n+1}}{b_n} < \frac{p}{ p} = 1$$

lo que significa que $ \sum_{n}^{\infty} a_n b_n $ convergerían