Buscando diferentes pruebas de "Discreta del Teorema de Liouville".

Question

Buen día.

Hay una pregunta que ya he encontrado dos veces, en contextos muy diferentes, que es relativamente simple, pero ambas soluciones sé que implican algunos bastante avanzados de teoremas a partir de los respectivos campos. Me gustaría preguntar si alguien podría pensar de cualquiera de las distintas pruebas.

Así que, aquí está la pregunta: Deje $f: \mathbb Z^2 \rightarrow \mathbb R$ satisfacer $f(m,n) = \frac14(f(m+1,n) + f(m-1,n) + f(m,n+1) + f(m,n-1))$. es decir, $f$ se define en una cuadrícula, en un valor en un punto es el promedio de sus cuatro vecinos. Suponga que $f$ es limitada (en algunas versiones, delimitada desde abajo). Demostrar que $f$ es constante.

Una prueba de la cuestión utiliza martingales, y se basa, creo que en la martingala teorema de convergencia. En la prueba, se definen dos dimensiones de paseo aleatorio $S_n$ y la mirada en el proceso de $f(S_n)$.

La otra prueba que viene de análisis funcional, y utiliza el Krein-Milman teorema en el set $K_1 = \{f \in L_{\infty}(\mathbb Z^2) | f(m,n) = \frac14(...), ||f||\leq1 \} $, después de encontrar a su extremal (que es la constante de las funciones de $\{+1,-1\}$).

Por lo tanto, cualquier otras pruebas de esta aparentemente sencilla pregunta? Que debo sospecha que hay algo relacionado con el análisis complejo, ya que para las funciones analíticas que esto iba a seguir, desde el teorema de Liouville. También, tal vez una combinatoria solución?

Answer 1

Este es el discreto equivalente de Liouville del principio armónico de la función: cada delimitada la función con un valor null laplaciano es constante.

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que la $f(0,0)=0$ (si no es así, reemplace $f$$f-f(0,0)$). Ahora consideremos el cuadrado de $B_N=\{(m,n):|m|+|n|\leq N\}$. Más $B_N$, $f$ alcanza su máximo y mínimo en $\partial B_N$, y $$\Gamma_N = \max_{(m,n)\in B_N}f(m,n)=\max_{(m,n)\in \partial B_N}f(m,n)$$ no es la disminución de la función de $N$. $\Gamma_N$ también está delimitada por $\Gamma$, y cumple con el casi medio-convexidad condición: $$\Gamma_N\leq\frac{3\Gamma_{N+1}+\Gamma_{N-1}}{4}$$ ya que los valores de $f$ $\partial B_N$ son completamente determinada por los valores de $f$$\partial B_{N+1}$$\partial B_{N-1}$. Desde cualquier no-decreciente, acotada, punto medio-convexa, la función es constante, sería de esperar que el mismo se aplica aquí. Tenemos: $$\Gamma_{N+1}-\Gamma_{N}\geq\frac{1}{3}(\Gamma_{N}-\Gamma_{N-1})\geq\frac{\Gamma_1}{3^N}$$ así que para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar un punto de $(a_1,b_1)$ tal que $f(a_1,b_1)\geq\frac{3}{2}\Gamma_1-\varepsilon>\frac{10}{7}\Gamma_1.$ Esto da que la diferencia de los valores de $f$ en dos prójimo puntos no puede ser limitada, por lo tanto la función en sí no puede ser acotada.

Sólo hemos utilizado un Borel-Caratheodory-tipo de argumento para proveer los límites inferiores para $\Gamma_N$.