Es epimorphism conservado en tomar secciones?

Question

Deje $\phi:\mathscr{F}\rightarrow\mathscr{G}$ es epimorphism de poleas (es decir, de los anillos) en $X$. Es cierto que $\phi(U):\mathscr{F}(U)\rightarrow\mathscr{G}(U)$ es un epimorphism de anillos para cada subconjunto abierto $U\subset X$ ?

Answer 1

No. Un contraejemplo (especializado de Gunning/Rossi, Funciones Analíticas de Varias Variables Complejas, Capítulo VI):

Deje $D$ un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, e $\mathscr{F}$ la gavilla de los gérmenes de la constante (complejo valorado) funciones ($\mathscr{F}_z \cong \mathbb{C}$ todos los $z \in D$). Deje $\mathscr{K}$ ser el subsheaf de $\mathscr{F}$ con tallo $0$ en dos puntos de $a < b$, y la paja de $\mathbb{C}$ en todas las demás. Deje $\mathscr{G}$ ser el cociente de la gavilla $\mathscr{F}/\mathscr{K}$. $\mathscr{G}$ tiene tallo $0$ por encima de todos los puntos, excepto en $a$$b$, donde se ha tallo $\mathbb{C}$.

Tenemos una breve secuencia exacta

$$0 \to \mathscr{K} \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to 0$$

de las poleas, pero $\Gamma(U,\,\mathscr{F}) \to \Gamma(U,\,\mathscr{G})$ no es surjective conectado a $U$ contiene tanto $a$$b$, desde una sección de $\mathscr{G}$ puede tomar diferentes valores en $a$$b$, pero una sección de $\mathscr{F}$ debe ser constante.

Si quieres evitar las $\{0\}$-anillos, considere la posibilidad de

$$0 \to \mathscr{K} \oplus 0 \to \mathscr{F} \oplus \mathscr{F} \to \mathscr{G} \oplus \mathscr{F} \to 0.$$

Para las poleas por encima de paracompact espacios de Hausdorff $D$, una breve secuencia exacta

$$0 \to \mathscr{R} \to \mathscr{S} \to \mathscr{T} \to 0$$

induce una breve secuencia exacta

$$0 \to \Gamma(D,\, \mathscr{R}) \to \Gamma(D,\,\mathscr{S}) \to \Gamma(D,\,\mathscr{T}) \to 0$$

por ejemplo, si $\mathscr{R}$ es un suave haz (cualquier sección sobre un subconjunto cerrado $K \subset D$ puede ser extendida a una sección sobre todos los de $D$).

Answer 2

El fracaso de este es el punto de partida para una de las principales herramientas de la geometría algebraica: Gavilla cohomology (ver GR/38966 para una buena motivación). Un ejemplo básico es el exponentiel secuencia. Complejos logaritmos existentes a nivel local, pero no a nivel mundial.