Monotónica comportamiento de una función

Question

Tengo el siguiente problema relacionado con una estadística de la pregunta:

Demostrar que la función definida por $x\ge 1, y\ge 1$, $$f(x,y)=\frac{\Gamma\left(\frac{x+y}{2}\right)(x/y)^{x/2}}{\Gamma(x/2)\Gamma(y/2)}\int_1^\infty w^{(x/2)-1}\left(1+\frac{xw}{y}\right)^{-(x+y)/2} dw$$

es el aumento en el $x$ por cada $y\ge 1$ y la disminución en el $y$ por cada $x\ge 1$. (Aquí se $\Gamma$ es la función gamma.)

Tratando de demostrar mediante el uso de derivados parece difícil.

Answer 1

Deje $W \sim F(x, y)$ donde $F(x,y)$ representa un $F$ distribución con grados de libertad $x$$y$. Entonces, la cantidad

$$ \mathbb{P}(W \geq 1 ) = f(x,y)=\frac{\Gamma\left(\frac{x+y}{2}\right)(x/y)^{x/2}}{\Gamma(x/2)\Gamma(y/2)}\int_1^\infty w^{(x/2)-1}\left(1+\frac{xw} de{y}\right)^{-(x+y)/2} \mathrm{d}w \> . $$

A partir de esto, creo que se puede encontrar la respuesta en la referencia abajo.

B. K. Ghosh, Algunos monotonía teoremas para $\chi^2$, $F$ y $t$ distribuciones con aplicaciones, J. Real Stat. Soc. B, vol. 35, no. 3 (1973), pp 480-492.

Por cierto, tenga en cuenta que $W = \frac{y}{x} \frac{U_{xy}}{1-U_{xy}}$ donde$U_{xy} \sim \mathrm{Beta}(x/2, y/2)$$\mathbb{P}(W \geq 1) = \mathbb{P}(U_{xy} \geq (1+y/x)^{-1})$.