Medibles de la función en el intervalo de $[0,1]$

Question

Suponga que $f$ es una función medible en el intervalo de $[0,1]$ tal que $0<f(x)<\infty$$x \in [0,1]$. Entonces, ¿cómo puedo probar que la desigualdad de abajo? $$\int^1_0 f(x)dx \int^1_0 {1 \over {f(x)}} dx \ge 1$$

Answer 1

Tenemos por Cauchy-Schwarz desigualdad, $$1=\int_0^1 1dx=\int_0^1\sqrt{f(x)}\frac 1{\sqrt{f(x)}}dx\leq \left(\int_0^1f(x)dx\cdot\int_0^1\frac 1{f(x)}dx\right)^{1/2}.$$ (el resultado es claro si $f^{1/2}$ o $f^{-1/2}$ no es integrable.

Answer 2

$$\iint_{[0,1]^2}\frac{(f(x)-f(y))^2}{f(x)f(y)}\mathrm dx\mathrm dy\geqslant0$$ Edit: Esta es una adaptación de la conocida aproximación a la desigualdad de $\|f\|_1\leqslant\|f\|_2$ por cada probabilidad de medida $\mu$, ya que la expansión de $$ \iint(f(x)-f(y))^2\mathrm d\mu(x)\mathrm d\mu(y)\geqslant0$$ y le da una oportunidad a recomendar, una vez más, el maravilloso libro pequeño que El de Cauchy-Schwarz Clase magistral: Una Introducción al Arte de las Desigualdades por J. Michael Steele.

Answer 3

Como @PZZ se comenta más abajo @David Giraudo la respuesta, podemos suponer que $f$ es integrable. A continuación, la desigualdad de Jensen, con $\varphi(x)=1/x$ dice que $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)}\, dx = \int_{0}^{1}\varphi(f(x))\,dx \geq \varphi\left[\int_{0}^{1} f(x)\, dx\right] = \left[\int_{0}^{1}f(x)\,dx\right)^{-1}. $$