Tire de los dientes de la integración de Lebesgue

Question

En Lebesgue integración se suele aproximar la función que queremos integrar con el paso de las funciones medibles sobre conjuntos. La cantidad de "energía" ¿tomamos distancia si se requiere que el paso de funciones en intervalos de lugar? Qué funciones son de izquierda que son integrables?

Yo estoy haciendo esto porque quiero algunos integral a converger, pero yo sólo conozco los valores en $1_{(x_1,x_2)}$. Tal vez podamos llegar a funciones de Lipschitz de esa manera?

Editar para ser más específicos.

Generalmente podemos definir la integral de una función positiva en este sentido. En primer lugar, si tenemos $$f = \sum a_i 1_{A_i} \text{ then } \int f \, d\mu = \sum a_i \mu(A_i)$$

Ahora si $f$ es positivo medible función definimos entonces

$$\int f \, d\mu := \sup \left \{\int g : g \leq f \text{ and $g$ is a simple function} \right \}$$

Mi pregunta ahora es: ¿qué es la izquierda de la teoría, si se requiere el $A_i$ a intervalos en lugar de elementos de toda la $\sigma$-álgebra?

Mis disculpas por la pregunta claro. Yo no debería hacer preguntas en el medio de la noche.

Answer 1

Terminologically hablando, la función de paso significa generalmente la combinación lineal de funciones características de los intervalos, mientras que la simple función se utiliza para las funciones de tomar en un número finito de valores.

Si usted está hablando acerca de la medida de Lebesgue, usted puede aproximado arbitraria $L^1$ funciones con el paso de las funciones en $L^1$ norma. Es sólo que en la definición de la integral de Lebesgue, es más fácil que hacerlo primero para arbitrario de funciones simples, porque entonces todas las funciones medibles se puede aproximar en una particular forma agradable. En particular, si $f$ es no negativa, entonces $\int f$ puede ser definida como el supremum de las integrales de no negativo de funciones simples dominado por $f$. Esto no iba a funcionar para el paso de las funciones, como la función característica de la irrationals en $[0,1]$ de la muestra; o, menos trivialmente, la función característica de una grasa conjunto de Cantor. Por lo tanto, su propuesta de cambio en las definiciones se vendría abajo para relativamente agradable Borel funciones.

Sin embargo, el problema de la $L^1$ aproximación a paso de las funciones podría ser resuelta si se puede encontrar, para cada finito de medida $E$, y para cada una de las $\varepsilon\gt0$, una unión finita de intervalos de $F$ tal que $\int |\chi_E - \chi_F |\lt \varepsilon$. Es decir, desea que la medida de la diferencia simétrica de a $E$ $F$ a menos de $\varepsilon$. Que esto es cierto para la medida de Lebesgue en la línea (una versión de uno de Littlewood 3 principios.

Answer 2

Hay una manera de utilizar el paso de las funciones, y sólo el paso de las funciones, para establecer la integral de Lebesgue debido a Mikusinski. Se requiere de algo más sutil que un supremum. Decimos que una función $f$ es integrable si existe una secuencia $f_i$ de paso las funciones que $\sum \int |f_i|$ converge y tal que $f(x) = \sum f_i(x)$ pointwise siempre $\sum |f_i|$ converge, y definimos su integral a $\int f = \sum \int f_i$.