El teorema de Noether da lugar a cantidades que se conservan a través del tiempo. Pero, ¿es que también dan lugar a cantidades que se conservan en el espacio?
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Básicos de la mecánica de Lagrange (del tipo que se cubre en un nivel de segundo año de la mecánica clásica de la clase), no. La razón es que el tiempo juega un papel especial en el Lagrangiano de teoría: es el único parámetro independiente, que todo lo demás que se expresa como una función de. Esto está relacionado con el hecho de que la acción es la integral del Lagrangiano más de tiempo, no el espacio, y que a su vez significa que el "clásico" de la versión del teorema de Noether sólo funciona para la conservación en el tiempo.
Sin embargo, cuando se generaliza a la teoría del campo, la situación cambia: en la teoría de campo, tanto en las coordenadas de tiempo y espacio son considerados parámetros independientes, por lo que todo lo demás que se expresa como una función de tiempo y espacio. En particular, en lugar de la clásica de Lagrange, tiene una densidad Lagrangiana $\mathcal{L}$, lo que le permite expresar la acción como un espacio-tiempo integral,
$$S = \int \mathcal{L}\mathrm{d}^4x$$
Así que la teoría de campo de la versión de Noether del teorema de no asignar ningún estatuto especial para el tiempo. En lugar de temporal de leyes de conservación ($\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$), es el espacio-tiempo la ley de la conservación de la forma
$$\frac{\partial j^\mu}{\partial x^\mu} = 0$$
Usted puede convertir esto en un temporal, la ley de la conservación mediante la integración de la actual $j^\mu$ a través de una spacelike de volumen (es decir, todo el espacio en un solo momento en el tiempo):
$$Q = \int_{t=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$$
pero puede convertirlo en un espacio de conservación de la ley, mediante la integración de más de un espacio-temporales de volumen:
$$Q = \int_{x=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = 0$$
Así que de esta manera, sí es posible crear un espacio de conservación de ley mediante el teorema de Noether.
Stefano
Puntos
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Sí, en un campo de la teoría de la configuración. Considere la posibilidad de una $3+1$ dimensiones de planos espacio-tiempo por la simplicidad. El teorema de Noether da lugar a una ley de la conservación de la forma
$$d_{\mu} J^{\mu}(x)=0,$$
es decir, el Noether actual $J^{\mu}(x)$ es una divergencia-menos de cuatro actuales. [Se utiliza el símbolo $d_{\mu}$ (en lugar de $\partial_{\mu}$) para subrayar el hecho de que el derivado $d_{\mu}$ es un total de derivados, que involucra tanto implícita diferenciación a través del campo de las variables de $\phi^{\alpha}(x)$, y explícita la diferenciación wrt. $x^{\mu}$.]
Dicen que desee considerar una cantidad $Q$ que es la independencia de la $x^1$-coordinar. Definir el llamado 'cargo' $Q=Q(x^1)$ mediante la integración de $J^1(x)$ sobre el $2+1$ plano dimensional con fijo $x^1$-coordinar $x^1$. Entonces es fácil mostrar el uso de un $2+1$ dimensiones teorema de la divergencia que
$$d_{1} Q(x^1)=0$$
por la imposición de las pertinentes condiciones de contorno.
La anterior construcción pueden ser muy generalizada a un geométricamente covariante marco, donde la dirección preferida es dado por un no-desaparición de vector de campo, que puede ser el tiempo-como, como el espacio, la luz, o alguna combinación.
