Cómo integrar $\int\frac{\ln x\,dx}{x^2+2x+4}$

Question

$$K=\int\frac{\ln x\,dx}{x^2+2x+4}$$

---

Hice esto $x^2+2x+4=(x+\alpha)(x+\beta)$ , a continuación, utiliza fracción parcial, entonces no estoy seguro de cómo integrar $\int\frac{\ln x}{x+c}\,dx$ .

Intenté Integración por partes también tomando primera función como ambas lo cual no terminó en ningún lado

También necesito ayuda sobre cómo evaluar esto, con o sin (que creo que podría ser más fácil) utilizando lo anterior:

$$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln x\,dx}{x^2+2x+4}$$

---

Lo hice $x\mapsto 1/x$ y luego los sumamos para obtener: $$I=\frac32\int_0^{\infty}\frac{(x^2-1)\ln x \,dx}{(x^2+2x+4)(4x^2+2x+1)}=?$$

Answer 1

Ibas por buen camino. Prueba la sustitución $x = \dfrac{4}{y}$ para conseguirlo:

$I = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln x}{x^2+2x+4}\,dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{0}\dfrac{\ln \frac{4}{y}}{\frac{16}{y^2}+\frac{8}{y}+4} \cdot \dfrac{-4}{y^2}\,dy$

$= \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln 4 - \ln y}{y^2+2y+4}\,dy = \ln 4 \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\,dy}{y^2+2y+4} - I$

Así, $2I = \ln 4 \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\,dx}{x^2+2x+4}$ que es fácil de calcular.

Answer 2

Una forma de atacar las integrales impropias de la forma

$$\int_0^{\infty} dx \, f(x) $$

es utilizar el teorema del residuo, es decir, la integración de contornos en el plano complejo. Para ello, se considera la integral de contorno

$$\oint_C dz \, f(z) \log{z} $$

donde $C$ es un contorno de ojo de cerradura alrededor del eje real positivo, de radio interior $\epsilon$ y radio exterior $R$ . Consideramos los límites como $\epsilon \to 0$ y $R \to \infty$ . En la mayoría de los casos, las integrales sobre los círculos interior y exterior desaparecen en estos límites (no lo demostraré aquí).

En este caso, nuestro enunciado del teorema del residuo adopta la forma

$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log^2{x} - (\log{x}+i 2 \pi)^2}{x^2+2 x+4} = i 2 \pi \sum_{k=1}^2\frac{\log^2{z_k}}{2 z_k+2}$$

donde $z_{1,2}= -1 \pm i \sqrt{3}$ o, en otras palabras, $z_1 = 2 e^{i 2 \pi/3}$ y $z_2=2 e^{i 4 \pi/3}$ . Obsérvese que los argumentos del $z_k$ están entre $[0,2 \pi]$ necesariamente por cómo $C$ se definió. Así,

$$-i 4 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{x^2+2 x+4} + 4 \pi^2 \int_0^{\infty} dx \frac{1}{x^2+2 x+4} = i 2 \pi \left [\frac{(\log{2} + i 2 \pi/3)^2}{i 2 \sqrt{3}} + \frac{(\log{2} + i 4 \pi/3)^2}{-i 2 \sqrt{3}} \right ]$$

Igualando las partes real e imaginaria, encontramos que

$$\int_0^{\infty} dx \frac{1}{x^2+2 x+4} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} $$ $$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x}}{x^2+2 x+4} = \frac{\pi}{ 3 \sqrt{3}} \log{2}$$

Answer 3

$$\int \dfrac{\ln(x)\; dx}{x+\alpha} = \ln(x) \ln(1+x/a) + \text{dilog}(1+x/a)$$ Pero requiere cierto cuidado utilizarlo para su impropio integral.