El espectro de un producto de operadores

Question

Supongamos $A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ donde $\mathcal{H}$ es un infinito dimensional espacio de Hilbert. En general, sabemos que no existe ninguna relación entre el $\sigma(AB)$ $\sigma(A)$ $\sigma(B)$ sin asumir que quizás $A$ $B$ viaje. Lo que me he estado preguntando es si podemos decir nada si $A$ $B$ han finito espectro - podemos concluir que el $AB$ ha finito espectro? O hay ejemplos de operadores acotados $A$ $B$ con un límite de espectro, sino $\sigma(AB)$ es infinito? Si nada puede decirse, en general, para este problema, lo que si $A$ $B$ son auto-adjunto de involuciones (es decir,$A^* = A$, $B^*=B$ y $A^2 = B^2 = I$)?

No he sido capaz de hacer cualquier serios avances en este debido a la complicada naturaleza de un espectro de un producto de operadores. He tenido una cadena de si y sólo ifs para al $AB-\lambda I$ es invertible, pero nada que aclara que salió de ella. En el uno mismo-adjoint involución caso, yo creo que el teorema espectral podría jugar un gran papel, pero no veo cómo invocar aquí de una manera significativa. Después de que algunos de fregado de la internet, en realidad no he encontrado ningún resultado o incluso cualquier mención de un problema.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no, el espectro puede ser infinito, y los pares de auto-adjunto de involuciones son en realidad una buena clase de contraejemplos, ya que pueden ser completamente descrito utilizando el teorema espectral. La irreductible pares de involuciones se producen en las dimensiones de $1$$2$, y el resto son de directa integrales de irreducibles. De modo que cada par es descrito por el "espectro de los ángulos" entre ellos con su espectral de medida tipo (es decir, la equivalencia de clase) + multiplicidad.

Ahora, una irreductible par de involuciones en la dimensión $2$ tiene este aspecto:

$A_\alpha = \left[\begin{matrix}1\\ & -1 \end{de la matriz}\right], B_\alpha = \left[\begin{matrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{de la matriz}\right]$

El producto $A_\alpha B_\alpha$ es el operador unitario que gira por el ángulo de $\alpha$, por lo que su espectro es $\{e^{i\alpha}, e^{-i\alpha}\}$. Claramente, una suma directa de countably muchos de estos, con diferentes $\alpha$'s, puede tener infinito espectro.

Por cierto, vemos que cada operador unitario cuya espectral medida del tipo y de la multiplicidad de la función son simétricas bajo compleja conjugación es un producto de dos auto-adjunto de involuciones.