El medidor de derivada covariante y su sustitución

Question

Me preguntaba si podría hacer una diferencia (en general) si yo fuera a introducir el medidor de derivada covariante $$D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$$ En el Lagrangiano de la densidad y, a continuación, se derivan las ecuaciones de movimiento. O si me iban a derivar las ecuaciones de movimiento y, a continuación, introducir el medidor de derivada covariante.

He comprobado esto por el de Klein-Gordon y ecuaciones de Dirac, donde no hizo ninguna diferencia en absoluto.

Mi conjetura es que no haría ninguna diferencia en absoluto, ya presentamos esta para hacer que nuestro sistema (acción, las ecuaciones de movimiento, ...) gauge invariantes. Así que realmente no importa en que punto que me gustaría introducir el medidor de derivada covariante.

Pero no estoy seguro de si este razonamiento es correcto ...

Para hacer la pregunta muy básico, supongo que surge la pregunta: "¿siempre tenemos que introducir el local de las simetrías en la acción, o podemos esperar con que hasta las ecuaciones de movimiento ?"

EDIT: yo también soy un gran creyente de que el hecho de que usted acaba de sustituir a la derivada covariante en la acción, para presentar su interacitons (este es el camino a seguir desde el teorema de Noether trabaja con la acción, y de este teorema garantiza la conserva de cantidades).

Ahora estoy estudiando "Quarks Y Leptones: Un Curso Introductorio en la Moderna Física de Partículas" por Halzen & Martin, y cuando estudio QED de spin-0 de partículas (capítulo 4 en mi edición, que es la edición de 1984 el apperently) que introducen el medidor de derivada covariante de las ECUACIONES DE MOVIMIENTO en lugar de la acción.

En algún lugar esto tiene cierta lógica ya que si el sistema es invariante bajo algún tipo de simetría, las ecuaciones de movimiento debe ser invariante para este tipo de transformación así (de lo contrario dos soluciones relacionadas por una simetría transformación no dar el mismo resultado). Yo creo que esto es lo que estamos demostrando aquí (arxiv.org/abs/0907.2301), pero no estoy seguro de por qué se va ?

Por supuesto (como se dijo en un comentario a una de las respuestas), si usted desea dar a su vectorfield $A_\mu$ general dynamics necesita de Yang-Mills teoría ans algún tipo de cinética plazo para este campo, en este caso, usted necesita un Lagrangiano para "unificar" ambas dinámicas.

EDIT2: @QMechanic la respuesta también se le da un muy buen scematic versión de la pregunta (sólo para referencia).

Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir por "hacer una diferencia".

La derivada covariante es introducido en el Lagrangiano de la densidad de Locales de agregar Medidor de Simetría de la Acción. Un determinado campo de la teoría se describe por su Acción. Por lo tanto, si la Acción no tiene una simetría en particular, usted no puede presentar la simetría más tarde.

Por "hacer una diferencia", si te refieres a una diferencia en las consecuencias físicas, entonces se va a hacer una diferencia si usted no introducir la derivada covariante en el Lagrangiano de la densidad de la misma. Tomando el ejemplo de la compleja escalar la teoría del campo, la densidad Lagrangiana es,

$(1/2)(D_{\mu}\phi)^{*}D^{\mu}\phi-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-V(\phi,\phi^{*})$

El primer término da la cinética plazo para su campo escalar y un término de interacción con $\phi, \phi^{*}, A^{\mu}$ junto. El segundo término es la cinética plazo para $A^{\mu}$, mientras que el término es un término de interacción con $\phi$$\phi^{*}$.

Si usted no tiene la derivada covariante en su densidad Lagrangiana, usted no tiene la interacción entre el complejo campo escalar y el medidor de campo, y por lo tanto es una gran diferencia a la física. En QED significaría que la dispersión de Compton y mucho de lo que sucede en la naturaleza no va a suceder.

Answer 2

OP es ponderar si extremization de la acción de los viajes con el mínimo acoplamiento (MC) de la receta, es decir, si el siguiente diagrama conmuta:

$$ \begin{array}{ccc} \text{Lagrangian density} && \text{Lagrangian density} \cr {\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),A(x),F(x),x) &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal L}(\phi(x),D\phi(x),A(x),F(x),x) \cr\cr \text{extremization}\downarrow &&\downarrow \text{extremization}\cr\cr {\cal E}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),A(x), &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal E}(\phi(x),D\phi(x),D^2\phi(x),A(x),\cr F(x),\partial F(x),x)=0 & & F(x),D F(x),x)=0\cr \text{EOMs} && \text{EOMs} \end{array} $$

Aquí $\phi(x)$ es la abreviatura de diversos sectores.

No. Hay varios problemas con esta propuesta. E. g. el extremization wrt. $A_{\mu}$ (escalares) QED antes de un mínimo de acoplamiento produciría las ecuaciones de Maxwell sin importar los términos fuente. Más tarde mínima de acoplamiento procedimiento no reparar esto. Este hecho está relacionado con Sourav la respuesta.